Skalarprodukterhaltung impliziert Linearität

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daLoisl Auf diesen Beitrag antworten »
Skalarprodukterhaltung impliziert Linearität
Hallo,
ich habe folgende Behauptung gelesen und scheitere momentan daran, sie nachvollziehen bzw. zu beweisen:
Gegeben sei eine Funktion , wobei Hilbert-Räume sind. ist genau dann skalarprodukterhaltend, wenn normerhaltend und linear ist.

Ich konnte bereits beweisen, dass aus normerhaltend und linear die Skalarprodukterhaltung folgt.
Das die Normerhaltung aus der Skalarprodukterhaltung folgt, ist trivial, aber ich habe Probleme dabei zu sehen, warum auch die Linearität folgt.

Mein Ansatz:

Wenn ich nun wüsste, dass surjektiv ist, wäre ich fertig. Aber ist im Allgemeinen nicht surjektiv...

Kann mir da jemand helfen?

Liebe Grüße
daLoisl
daLoisl Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, ich bin schon selbst auf eine Lösung gekommen. War eigentlich ja gar nicht schwer.
Durch einfache Rechnung kann man zeigen, dass

gilt.
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