Voraussetzungen Integralkriterium

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Erebos Auf diesen Beitrag antworten »
Voraussetzungen Integralkriterium
Meine Frage:
Betrachten Sie die Voraussetzungen des Integralkriteriums. Finden Sie jeweils für folgende Fälle ein Beispiel, in welchen das Integralkriterium versagt:
1) Die Funktion ist nicht monoton fallend und der Zielbereich ist ganz IR.
2) Die Funktion ist nicht monoton fallend und nicht stetig.
3) Die Funktion ist nicht monoton fallend.
Beachten Sie, dass die übrigen Voraussetzungen erfüllt sein müssen!

Meine Ideen:
Das Integralkriterium besagt folgendes:
Sei und eine streng monoton fallende und stetige Funktion. Dann gilt:
konvergiert .

Mein Ansatz:
1) Im ersten Fall habe ich mir einfach überlegt eine verschobene und gestauchte Sinuskurve zu definieren, so dass sich die Ordinatenmengen wegeheben, aber die Summation über die f(k) nur Summanden größer 0 hat.

2) Hier dachte ich an eine Funktion, die für ganzzahlige Argumente als Funktionswert 1 hat und für alle anderen Argumente Funktionswert 0. Nur weiß ich nicht, ob eine solche Funktion dann überhaupt integrierbar wäre, da wir ja im Prinzip keine Fläche haben.

3) Hier komme ich nicht weiter. Die Funktion muss ja stetig sein und die Funktionswerte müssen positive reelle Zahlen sein. Wie ich da eine Funktion konstruieren kann, so dass die Reihe divergiert, aber das Integral existiert, weiß ich nicht.
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

bei 1 ist die Idee gut, aber ich würde es andersherum machen, denn wenn ich dein Beispiel richtig verstanden habe, dann würde der Integralwert - genau wie Sinus und Cosinus - mit wachsender oberer Grenze immer zwischen M und -M (M irgendeine positive Zahl) hin und herpendeln und dann konvergiert das uneigentliche Integral nicht.
Betrachte etwa . Nun konvergiert die Reihe, aber das Integral nicht Augenzwinkern

Bei 2): Super! Die Funktion, die du meinst, heißt charakteristische Funktion der natürlichen Zahlen und wird häufig , oder geschrieben. Sie ist definitiv Lebesgue-integrierbar, und relativ sicher auch Riemann-integrierbar, wobei man beim uneigentlichen Integral da mit dem Limes manchmal etwas aufpassen muss, lieber noch mal genau nachschauen und abgleichen, aber hört sich super an!

3) -> siehe 1) Augenzwinkern Bzw. falls das Symbol die 0 nicht mit einschließt, macht man noch oder so.

LG
sibelius84

edit:
Mal so am Rande, mit dem Integralvergleichskriterium kann man übrigens sehr schön die Konvergenz der Folge mit beweisen.
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von sibelius84
und relativ sicher auch Riemann-integrierbar


Ist sie nicht. Augenzwinkern

Edit: Zurückgezogen, siehe unten.
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Gilt nicht für jedes positive a, und damit auch ? Oder reicht das aus irgendeinem Grund nicht für die Existenz des uneigentlichen Integrals?
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

@Sibelius: Sehe ich auch so wie du. Vielleicht stört sich Iorek am Fehlen des Wortes uneigentlich, wobei das hier eigentlich aus dem Kontext klar sein sollte verwirrt

Abgesehen davon: Glückwunsch zum blauen Stern Augenzwinkern
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry, ich nehm es zurück, ich hab daraus die Dirichletsche Sprungfunktion gemacht... Forum Kloppe
 
 
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