Substitution Integral

04.03.2018, 19:36

Kathreena

Substitution Integral

Bestimme das Integral: $\begin{eqnarray*} \int \sqrt{4-x^2} dx \end{eqnarray*}$

a.) Mithilfe der Substitution: $\begin{eqnarray*} x = 2sin(t), t \in (-\pi/2 ,\pi /2) \end{eqnarray*}$

b.) Mithilfe der Partiellen Integration nach dem Erweitern mit $\begin{eqnarray*} \sqrt{4-x^2} \end{eqnarray*}$ und nach dem Zerlegen in zwei Summanden.

Meine Idee:

a.) $\begin{eqnarray*} \int \sqrt{4-x^2} dx = \int \sqrt{4-4sin^2(t)} dx = 2\int \sqrt{1-sin^2(t)} dx = 2\int cos(t) dx \end{eqnarray*}$

Weiß nicht wie ich das dx wegbekomme und dafür ein dt dort stehn hab.

b.) Ich verstehe den Hinweis zur Lösung nich ganz, unter Erweitern mit $\begin{eqnarray*} \sqrt{4-x^2} \end{eqnarray*}$ verstehe ich folgendes:

$\begin{eqnarray*} \int \sqrt{4-x^2} \cdot \frac{\sqrt{4-x^2}}{\sqrt{4-x^2}} dx = \int \frac{4-x^2}{\sqrt{4-x^2}} dx \end{eqnarray*}$ Aber so kann ich ja keine Partielle Integration anwenden.

04.03.2018, 19:45

sibelius84

Auf diesen Beitrag antworten »

Hi Kathreena,

bei a): Es gilt $\begin{eqnarray*} \frac{dx}{dt}=x'(t)=2\cos(t) \end{eqnarray*}$ , also solltest du $\begin{eqnarray*} 4\int \cos^2(t)\,dt \end{eqnarray*}$ erhalten.

Bei b): Es gilt ja

$\begin{eqnarray*} \int \frac{4-x^2}{\sqrt{4-x^2}}\,dx = \int \frac{4}{\sqrt{4-x^2}}\, dx - \int x\frac{x}{\sqrt{4-x^2}}\, dx \end{eqnarray*}$ .

Bei dem ersten Integranden könntest du erkennen, dass es sich um ein Vielfaches der Ableitung von arcsin(x/2) handelt, bzw. zur Not noch mal x(t):=2t substituieren (streng genommen nicht ganz im Sinn der Aufgabenstellung, aber sei's drum). Bei dem zweiten könntest du es tatsächlich mit partieller Integration versuchen, mit u(x):=x, und v'(x):=Rest, eine Stammfunktion lässt sich leicht mit Substitution bestimmen; das könnte mit etwas Glück so einen "Phönix aus der Asche" geben, wo du nachher nach dem gesuchten Integral umformen und es so rauskriegen kannst.

LG
sibelius84

06.03.2018, 20:55

Kathreena

Auf diesen Beitrag antworten »

Noch zu b.)

Ist das so gewollt das ich mich da dann im Kreis drehe ?

Also wenn ich $\begin{eqnarray*} \int \frac{4}{\sqrt{4-x^2}}\, dx = 4 \cdot arcsin(x/2) \end{eqnarray*}$ gelöst habe.

Dann komm ich bei dem anderen Integral auf folgendes.

$\begin{eqnarray*} \int x\frac{x}{\sqrt{4-x^2}}\, dx \end{eqnarray*}$

Partielle Integration:

$\begin{eqnarray*} g'(x) = \frac{x}{\sqrt{4-x^2}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g(x) = - \sqrt{4-x^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x) = x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x) = 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int x\frac{x}{\sqrt{4-x^2}}\, dx = x \cdot - \sqrt{4-x^2} - \int - \sqrt{4-x^2} dx = x \cdot - \sqrt{4-x^2} +\int \sqrt{4-x^2} dx \end{eqnarray*}$

Dann habe ich ja wieder $\begin{eqnarray*} \int \sqrt{4-x^2} dx \end{eqnarray*}$ .

Falls es so stimmt, ich komme da bei der Substitution auf was komisches:

$\begin{eqnarray*} \int \sqrt{4-x^2} dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x = 2sin(u) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} u = arcsin(x/2) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} dx = 2cos(u) du \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int \sqrt{4-x^2} dx = \int 2cos(u) \cdot \sqrt{4-4sin^2(u)} du = 4\int cos(u) \cdot \sqrt{1-sin^2(u)} du = 4 \int cos^2(u) du = 4 \int \frac{1+cos(2u)}{2} du = sin(2u)+2u = sin(2arcsin(x/2))+2 arcsin(x/2) \end{eqnarray*}$

07.03.2018, 09:03

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Kathreena
$\begin{eqnarray*} \int x\frac{x}{\sqrt{4-x^2}}\, dx = x \cdot - \sqrt{4-x^2} - \int - \sqrt{4-x^2} dx = x \cdot - \sqrt{4-x^2} +\int \sqrt{4-x^2} dx \end{eqnarray*}$

Dann habe ich ja wieder $\begin{eqnarray*} \int \sqrt{4-x^2} dx \end{eqnarray*}$ .

Besser wäre es, von Anfang an das komplette Integral zu nehmen:

$\begin{eqnarray*} \int \sqrt{4-x^2} ~dx = \int \frac{4}{\sqrt{4-x^2}}\, dx - \int x \frac{x}{\sqrt{4-x^2}}\, dx = \int \frac{4}{\sqrt{4-x^2}}\, dx + x \cdot \sqrt{4-x^2} + \int - \sqrt{4-x^2} dx = \int \frac{4}{\sqrt{4-x^2}}\, dx + x \cdot \sqrt{4-x^2} - \int \sqrt{4-x^2} dx \end{eqnarray*}$
Jetzt kannst du die Gleichung nach $\begin{eqnarray*} \int \sqrt{4-x^2} dx \end{eqnarray*}$ umstellen. smile

Zitat:

Original von Kathreena
$\begin{eqnarray*} \int \sqrt{4-x^2} dx = \int 2cos(u) \cdot \sqrt{4-4sin^2(u)} du = 4\int cos(u) \cdot \sqrt{1-sin^2(u)} du = 4 \int cos^2(u) du = 4 \int \frac{1+cos(2u)}{2} du = sin(2u)+2u = sin(2arcsin(x/2))+2 arcsin(x/2) \end{eqnarray*}$

Ich würde da $\begin{eqnarray*} sin(2u) = 2sin(u)cos(u) = 2 sin(u) \cdot \sqrt{1 - sin^2(u)} \end{eqnarray*}$ nutzen. Dann kannst du sin(u) durch x/2 ersetzen. Augenzwinkern

Neue Frage »

Antworten »

Substitution Integral

Verwandte Themen