Poissongleichung

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05.03.2018, 14:30

bigbig

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Poissongleichung

Hat jemand tipps wie mein erster Ansatz bei dieser Aufgabe sein soll?

05.03.2018, 16:11

Huggy

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RE: Poissongleichung
Da der inhomogene Teil der DGL und die Randbedingung beide symmetrisch in x und y sind, könnte man für die spezielle Lösung mal ansetzen, dass gilt

$\begin{eqnarray*} u_{xx}=u_{yy} \end{eqnarray*}$

Nachdem man die spezielle Lösung hat, sollte man zu Polarkoordinaten übergehen, wie der Hinweis nahelegt.

05.03.2018, 16:41

bigbig

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Soll ich die obere Funktion zweimal nach x ableiten ?

05.03.2018, 18:31

Huggy

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Es ist

$\begin{eqnarray*} u_{xx}=\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \end{eqnarray*}$

eine übliche Kurzschreibweise. Was ergibt sich denn mit dem von mir vorgeschlagenen Ansatz für $\begin{eqnarray*} \Delta u \end{eqnarray*}$ ?

05.03.2018, 18:36

bigbig

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-Deltau = -6xy

delta u = 6xy

delta ux = 6y

delta uxx = 0

Richtig ?

05.03.2018, 19:12

Huggy

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Oh weh, das fängt mal wieder grauslich an. Mit meinem Ansatz $\begin{eqnarray*} u_{xx}=u_{yy} \end{eqnarray*}$ ist

$\begin{eqnarray*} \Delta u=u_{xx}+u_{yy}=2u_{xx}=6xy \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u_{xx}=3xy \end{eqnarray*}$

Dafür lassen sich leicht Lösungen angeben. Analog ergibt der Ansatz

$\begin{eqnarray*} u_{yy}=3xy \end{eqnarray*}$

Jetzt die beiden Teillösungen zusammenbasteln und man hat eine spezielle Lösung.

Es wäre hilfreich, wenn du bei den Formeln Latex verwendest, eventuell mit Hilfe des Formeleditors.

05.03.2018, 19:40

bigbig

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Sehen die Ansätze immer so aus ?

Oder wie bist du darauf gekommen das man uxx +uxx rechnet ?
$\begin{eqnarray*} deltau = u_{yy}+ u_{yy} = 2u_{yy } = 3xy = \frac{3}{2} xy \end{eqnarray*}$

06.03.2018, 07:37

Huggy

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Zitat:

Original von bigbig
Sehen die Ansätze immer so aus ?

Nein. Es gibt diverse Ansätze. Meiner schien mir einfach in diesem Fall nützlich.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} deltau = u_{yy}+ u_{yy} = 2u_{yy } = 3xy = \frac{3}{2} xy \end{eqnarray*}$

Was soll der Unfug mit den letzten beiden Gleichheitszeichen? Es ist doch mit dem Ansatz

$\begin{eqnarray*} 2u_{yy}=6xy \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u_{yy}=3xy \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} 3xy \neq \frac{3}{2} xy \end{eqnarray*}$
Jetzt gib doch mal konkret die Lösung für $\begin{eqnarray*} u_p \end{eqnarray*}$ mit meinem Ansatz an!

06.03.2018, 08:08

bigbig

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uyy = - 3/2 *xy

Passt es so ?

06.03.2018, 09:38

Huggy

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Unfug!

Ich hatte doch schon hingeschrieben

$\begin{eqnarray*} u_{yy}=3xy \end{eqnarray*}$

Wenn du das nicht nachvollziehen kannst oder einfach ignorierst, ist Hopfen und Malz verloren. Du sollst jetzt Lösungen zu

$\begin{eqnarray*} u_{xx}=3xy \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u_{yy}=3xy \end{eqnarray*}$

angeben.

06.03.2018, 18:34

bigbig

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Wie soll ich genau auf die Lösungen kommen?

06.03.2018, 18:50

Huggy

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Na, wie kommt man denn auf eine Funktion, die eine gegebene 2. Ableitung hat? Man bildet zweimal hintereinander die Stammfunktion. Aus

$\begin{eqnarray*} u_{xx}=3xy \end{eqnarray*}$

kommt man so zu

$\begin{eqnarray*} u=\frac 1 2 x^3y \end{eqnarray*}$

plus einem additiven Term, dessen 2. Ableitung nach x Null ergibt.

06.03.2018, 20:07

bigbig

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$\begin{eqnarray*} u =\frac{1}{2}x^3y+\frac{1}{2} xy^3+C \end{eqnarray*}$

Passt so oder ?

06.03.2018, 21:13

bigbig

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Wie geht es weiter ?

06.03.2018, 21:49

Huggy

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Da nur eine spezielle Lösung gesucht ist, kann man die Konstante C im Folgenden weglassen. Der nächste Schritt ist es, diese spezielle Lösung, die man jetzt $\begin{eqnarray*} u_p \end{eqnarray*}$ nennen sollte, in Polarkoordinaten auszudrücken und ebenso die gegebene Randbedingung. Dann folgt man der Anleitung in der Aufgabe.

P.S. Ich bin erst morgen wieder im Board.

06.03.2018, 22:47

bigbig

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Mein nächster Ansatz sieht dann so aus,siehe Bild 1

In meiner Musterlösung steht dann ,dass ich die Formel vom 2 Bild irgendwie nutzen soll?

Hast du ne Idee wie ich das machen soll?

07.03.2018, 08:40

Huggy

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Mir ist nicht klar, wie man zu dieser Formel kommt, solange man $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ noch nicht kennt. Ich würde so vorgehen: Unter Beachtung von $\begin{eqnarray*} x^2 +y^2=r^2 \end{eqnarray*}$ erhält man

$\begin{eqnarray*} u_p= \frac 1 2 (x^3y+xy^3)= \frac 1 2 (x^2+y^2)xy= \frac 1 4 r^4 \sin (2 \varphi) \end{eqnarray*}$

Damit erhält man auf dem Rand ( $\begin{eqnarray*} r=1 \end{eqnarray*}$ ):

$\begin{eqnarray*} u(1, \varphi)= \frac 1 2 \sin (2\varphi) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u_p(1, \varphi)=\frac 1 4 \sin(2 \varphi) \end{eqnarray*}$

Daraus ergibt sich

$\begin{eqnarray*} w(1, \varphi)=u(1,\varphi)-u_p(1,\varphi)= \frac 1 4 \sin (2\varphi) \end{eqnarray*}$

Für $\begin{eqnarray*} w \end{eqnarray*}$ gilt außerdem

$\begin{eqnarray*} \Delta w =0 \end{eqnarray*}$

Damit kann man für $\begin{eqnarray*} w \end{eqnarray*}$ den in deinem Bild zu sehenden Reihenansatz machen. Das lässt sich aber abkürzen. Aus dem Randwert von $\begin{eqnarray*} w \end{eqnarray*}$ sieht man, dass die Reihe jedenfalls den Summanden

$\begin{eqnarray*} \frac 1 4 r^2\sin (2\varphi) \end{eqnarray*}$

enthalten muss. Jetzt kann man ja mal testen, ob gilt

$\begin{eqnarray*} \Delta (\frac 1 4 r^2\sin (2\varphi))=0 \end{eqnarray*}$

Falls ja, hat man damit $\begin{eqnarray*} w \end{eqnarray*}$ schon gefunden, da die Reihenentwicklung eindeutig ist.

07.03.2018, 09:13

bigbig

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Woher weiss man dass dieses delta w = 0 ist ?
Woher kommt das her ?

Wie kommen die nach dem Koeffizientenvergleich auf b2 = 1/4 und ai ,bi = 0?

07.03.2018, 09:44

Huggy

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Zitat:

Original von bigbig
Woher weiss man dass dieses delta w = 0 ist ?

Es ist doch $\begin{eqnarray*} \Delta u=6xy \end{eqnarray*}$ . Und da $\begin{eqnarray*} u_p \end{eqnarray*}$ eine spezielle Lösung für u ist, gilt natürlich auch $\begin{eqnarray*} \Delta u_p=6xy \end{eqnarray*}$ . Damit ist

$\begin{eqnarray*} \Delta w =\Delta (u-u_p)=\Delta u - \Delta u_p = 0 \end{eqnarray*}$

Zitat:

Wie kommen die nach dem Koeffizientenvergleich auf b2 = 1/4 und ai ,bi = 0?

Es ist doch

$\begin{eqnarray*} w(1, \varphi)= \gamma (\varphi) =\frac 1 4 \sin (2 \varphi) \end{eqnarray*}$

Die 2 im Sinus zeigt, dass das der Sinusterm mit $\begin{eqnarray*} n=2 \end{eqnarray*}$ ist und dessen Vorfaktor ist $\begin{eqnarray*} \frac 1 4 \end{eqnarray*}$ . Weitere Summanden hat aber $\begin{eqnarray*} w(1,\varphi) \end{eqnarray*}$ nicht.

Die Musterlösung halte ich nicht für besonders geglückt. Es ist unklar, wie man aus der transformierten Randbedingung sofort auf das angegebene $\begin{eqnarray*} w \end{eqnarray*}$ kommt. Man kann natürlich rückwärts nachrechnen, dass das angebene $\begin{eqnarray*} w \end{eqnarray*}$ die transformierte Randbedingung und $\begin{eqnarray*} \Delta w = 0 \end{eqnarray*}$ erfüllt. Wenn man das aber gelten lässt, sind die nachfolgenden Schritte völlig überflüssig. Man hat dann $\begin{eqnarray*} u_p \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} w \end{eqnarray*}$ und kann damit das Ergebnis der letzten Zeile über $\begin{eqnarray*} u=w+u_p \end{eqnarray*}$ sofort hinschreiben.

Edit: Wenn du bei meinen Beiträgen auf Zitat klickst, siehst du, wie man die Formeln in Latex schreibt.

07.03.2018, 09:57

bigbig

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Wie kommen die in meiner Musterlösung auf die vorletzte Gleichung ?

Verstehe ich nicht

07.03.2018, 10:06

HAL 9000

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Immer wieder erschreckend zu beobachten, wie das Vorliegen von Musterlösungen das Denkvermögen mancher zu lähmen scheint. Und das, weil Punkt für Punkt durch die Musterlösung gegangen wird, ohne mal die größeren Zusammenhänge im Blick zu behalten.

Vielleicht einfach mal die Musterlösung beiseite legen und selbständig nach dem erlernten Lösungsverfahren vorgehen.

07.03.2018, 10:08

Huggy

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Das erste Gleichheitszeichen in der vorletzten Zeile war doch gerade das Ergebnis des Koeffizientenvergleichs. Beim zweiten Gleichheitszeichen wurde $\begin{eqnarray*} \sin (2\varphi) \end{eqnarray*}$ wieder in ein Produkt umgeschrieben.

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