Dichtefunktion auf Gültigkeit prüfen

07.03.2018, 09:19

LuciaSera

Dichtefunktion auf Gültigkeit prüfen

Hey leute..
Wie prüfe ich eine stetige Dichtefunktion mit einem bivariaten Zufallsvektor auf seine Gültigkeit?

Ich weiß, dass die Wahrscheinlichkeitsdichte zwei Eigenschaften erfüllen muss:
$\begin{eqnarray*} f(x,y) \geq 0 \int_{-\infty }^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} \! f(x,y) \, dydx =1 \end{eqnarray*}$

Ich habe nun folgende Aufgabe:

$\begin{eqnarray*} f_{X,Y}(x,y) = x+y \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} 0 \leq x, y \leq 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f_{X,Y}(x,y) = 0 \end{eqnarray*}$ sonst

Ich habe mir überlegt, dass ja das Doppelintegral = 1 sein soll:
$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{\infty} \int_{-\infty}^{1} \! (x+y) \, dydx \end{eqnarray*}$

Doch dieses Integral divergiert und kann damit nicht = 1 sein.

Heißt das nun, dass diese Dichtefunktion ungültig ist?

07.03.2018, 09:26

HAL 9000

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Offenkundig hast du $\begin{eqnarray*} 0\leq x,y\leq 1 \end{eqnarray*}$ als $\begin{eqnarray*} 0\leq x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y\leq 1 \end{eqnarray*}$ gelesen. Gemeint ist das aber in dem Sinne $\begin{eqnarray*} 0\leq x\leq 1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 0\leq y\leq 1 \end{eqnarray*}$ . Zugegebenermaßen eine Schwachstelle in dieser Formulierung $\begin{eqnarray*} 0\leq x,y\leq 1 \end{eqnarray*}$ . Augenzwinkern

07.03.2018, 10:32

LuciaSera

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Achsooo!!! Na dann ist mir alles klar Big Laugh

Eine Frage hätte ich noch:

Bei der nächsten Aufgabe, muss ich die Verteilungsfunktion dazu berechnen und das ist mir bei bivariaten Zufallsvariablen noch nicht so klar..

In der VO haben wir aufgeschrieben, dass
$\begin{eqnarray*} F_{X,Y}(x,y) = \int_{-\infty}^{x} \int_{-\infty}^{y} \! f_{X,Y}(t_{1},t_{2}) \, dt_{2}dt_{1} \end{eqnarray*}$

Allerdings gehen mein x und mein y nur bis 1 und laufen auch nicht von $\begin{eqnarray*} -\infty \end{eqnarray*}$ weg...

Und wir bekamen den Hinweis, dass eine Fallunterscheidung notwendig ist... Da stehe ich gerade an..

07.03.2018, 11:24

HAL 9000

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Das ist genau der Tipp, den ich dir auch gegeben hätte. Eine mögliche solche Fallunterscheidung wäre

Fall 1: $\begin{eqnarray*} x<0 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} y<0 \end{eqnarray*}$

Fall 2: $\begin{eqnarray*} x\geq 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y\geq 0 \end{eqnarray*}$

Fall 2.1:

$\begin{eqnarray*} x\leq 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y\leq 1 \end{eqnarray*}$

Fall 2.2:

$\begin{eqnarray*} x>1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y\leq 1 \end{eqnarray*}$

Fall 2.3:

$\begin{eqnarray*} x\leq 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y>1 \end{eqnarray*}$

Fall 2.4:

$\begin{eqnarray*} x>1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y>1 \end{eqnarray*}$

Kannst es natürlich auch anders hierarchisch strukturieren - wichtig ist, dass alle Fälle erfasst sind und die Fälle "klein genug" sind, um konkret was rechnen zu können.

07.03.2018, 17:18

LuciaSera

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Okay und wenn ich nun die Fälle hernehme, weiß ich doch, dass z.B Fall 2.4: 0 ist, weil ja bereits die Dichtefunktion so definiert ist oder habe ich da einen Denkfehler?

Und ich habe ja meine Funktion so zu lesen, dass $\begin{eqnarray*} 0 \leq x \leq 1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 0 \leq y \leq 1 \end{eqnarray*}$ sein müssen oder? verwirrt

Wenn ja, dass würde ja beim Fall 1 zB: $\begin{eqnarray*} x \leq 0 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} y \leq 0 \end{eqnarray*}$ auch 0 sein wegen der Dichtefunktion - denke ich da nun richtig?

07.03.2018, 17:42

HAL 9000

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Nein, tatsächlich ist $\begin{eqnarray*} F(x,y) = 1 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x\geq 1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y\geq 1 \end{eqnarray*}$ . unglücklich

Für die Verteilungsfunktion ist doch nicht nur der Dichtewert an der "Endstelle" wichtig, sondern was bis dahin aufintegriert wird.

Zitat:

Original von LuciaSera
dass würde ja beim Fall 1 zB: $\begin{eqnarray*} x \leq 0 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} y \leq 0 \end{eqnarray*}$ auch 0 sein wegen der Dichtefunktion - denke ich da nun richtig?

Das wiederum ist richtig.

07.03.2018, 18:59

LuciaSera

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Ja stimmt! Das war grad ein kompletter Denkfehler von mir bei meiner ersten Aussage.. Hammer

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