Warum nCr bei Bernoulli-Kette aus Experiment mit Zurücklegen verwenden?

08.03.2018, 10:54

acul

Warum nCr bei Bernoulli-Kette aus Experiment mit Zurücklegen verwenden?

Meine Frage:
Moin!

Als alleeeestes bitte ich um Entschuldigung für schlechte Dormatierung und fehlende Doemelzeichen. Ich bin gerade unterwegs und verfasse sen Thread vom Handy aus.

Folgende Aufgabe:
"In einer Urne befinden sich zwei rote und eine weiße Kugel. Aus der Urne wird sechsmal eine Kugel mit zurücklegen gezogen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit kommt genau
vier mal eine rote Kugel?"

Berechnung:
p(genau 4 mal rote Kugel) = (6nCr4) * (2/3)^4 * (1/3)^2

Meine Frage ist nun:

Warum wird nCr zur Berechnung verwendet, obwohl nCr nur bei "ungeordneten Stichproben ohne Zurücklegen" verwendet werden darf und es sich hier aber um eine ungeordnete Stichprobe mit Zurücklegen handelt?

Meine Ideen:
Meine Idee:

Mir ist klar, dass (6nCr4) die Anzahl an Kombinationen berechnet, mit welcher man 4 Kugeln auf 6 Plätze (eines Pfads) verteilen kann und dass diese Anzahl multipliziert mit der Pfadwahracheinlichkeit für einen Pfad die Geaamtwahrscheinlichkeit für das Ereignis erzeugt und dass nur nCr zur Berechnug dee Kombinationen herangezogen werden kann, doch ich verstehe nicht weshalb man nCr (ungeordnet, ohne Zurücklegen) zur Berechnung eines Experimentes mit Zurücklegen heranziehen kann.

Bezieht sich die bedingung, dass nCr nur bei ungeordneten Stichproben ohne zurücklegen verwendet werden kann nicht auf den Ablauf ses untersuchten Experimentes, sondern auf die jeweilige Berechnung für die nCr verwendet wird?

Alao in meinem Beispiel:
nCr kann trotz Experiment mit zurücklegen gewählt werden, da es nur zur Berechnung der Pfad-Anzahl bzw Kombinations-Anzahl verwwnder wird, da ich 4 Kugeln habe, welche je nur 1 mal (also ohne Zurücklegen) auf insgesamt 6 Kugeln verteilt werden können?

acul

Korrektur aus zweitem Beitrag übernommen, diesen gelöscht, damit es nicht so aussieht, als ob schon jemand antwortet. Steffen

08.03.2018, 12:00

klauss

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Warum nCr bei Bernoulli-Kette aus Experiment mit Zurücklegen verwenden?
Da Steffen dankenswerterweise die Korrekturen schon vorgenommen hat, nun zur Sache:

Eigentlich hast Du die Antwort ja schon selbst gegeben und den Zusammenhang verstanden.
(2/3)^4 * (1/3)^2 gibt die Wahrscheinlichkeit einer bestimmten Reihenfolge von 4 roten und 2 weißen Kugeln an. Da aber die Gesamtwahrscheinlichkeit aller möglichen Reihenfolgen von 4 roten und 2 weißen Kugeln gesucht ist, muß man eben mit der Anzahl der möglichen Reihenfolgen multiplizieren, also mit (6nCr4).

Man sollte sich wohl von der engen Vorstellung verabschieden, dass nCr ausschließlich 'erlaubt' sei, wenn die Anzahl von Möglichkeiten, k aus n ohne Berücksichtigung der Reihenfolge auszuwählen, gefragt ist.
nCr liefert eben auch die Anzahl an Möglichkeiten, k und (n-k) unterscheidbare Objekte anzuordnen.

08.03.2018, 12:29

Dopap

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Warum nCr bei Bernoulli-Kette aus Experiment mit Zurücklegen verwenden?

Zitat:

Original von acul
Meine Frage:

Bezieht sich die bedingung, dass nCr nur bei ungeordneten Stichproben ohne zurücklegen verwendet werden kann nicht auf den Ablauf ses untersuchten Experimentes, sondern auf die jeweilige Berechnung für die nCr verwendet wird?

das kann man so sehen.
Deine "UrnenMenge" ist keine Menge die aus unterscheidbaren Elementen besteht.
Und hat nix mit einer echten Menge zu tun. Bei Kombinationen ohne Z. geht es um die Anzahl verschiedener Teilmengen mit k Elementen.
Die Formel $\begin{eqnarray*} \binom n k =\frac {n!}{(n-k)!k!} \end{eqnarray*}$ kann aber auch so gelesen werden:

Du hast eine "Urnenmenge" besteht aus $\begin{eqnarray*} n_1 \end{eqnarray*}$ Kugeln der Sorte I und aus $\begin{eqnarray*} n_2 \end{eqnarray*}$ Kugeln der Sorte II. Die Anzahl der Permutationen ist $\begin{eqnarray*} \frac {(n_1+n_2)!}{n_1!n_2!} \end{eqnarray*}$ wenn du jetzt $\begin{eqnarray*} n_1=n-k \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} n_2=k \end{eqnarray*}$

setzt, dann ist die Anzahl der Permutationen gleich $\begin{eqnarray*} \frac {n!}{(n-k)!k!} \end{eqnarray*}$ und das ist wiederum "zufällig" gleich $\begin{eqnarray*} \binom n k \end{eqnarray*}$

Neue Frage »

Antworten »

Warum nCr bei Bernoulli-Kette aus Experiment mit Zurücklegen verwenden?

Verwandte Themen