Anfangswertproblem

$\begin{eqnarray*} u`(x) = \frac{1}{y (x)} \end{eqnarray*}$

es soll ein y`sein ,mit Latex nicht darstellbar

oder

$\begin{eqnarray*} u`(x) = - \frac{1}{y(x)^2} \end{eqnarray*}$

08.03.2018, 12:41

klarsoweit

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Bei letzterem fehlt die Anwendung der Kettenregel. Du mußt das also noch mit y'(x) multiplizieren. Nutze für ' das Zeichen über dem #. Das funktioniert auch in Latex. smile

Nachdem du nun u' hast, dividiere die DGL durch y² und suche nach Termen, die du durch y' bzw. y ersetzen kannst.

08.03.2018, 12:44

jacky23

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$\begin{eqnarray*} u`(x) = - \frac{1}{y(x)^2}*y'(x) \end{eqnarray*}$ [/quote]

Ich verstehe aber nicht warum das y'(x) dazu kommt ?

Kannst du mir das ein wenig erklären ?

Soll ich jetzt y' mit u'ersetzen?

08.03.2018, 13:00

klarsoweit

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Zitat:

Original von jacky23
Ich verstehe aber nicht warum das y'(x) dazu kommt ?

Kannst du mir das ein wenig erklären ?

Es ist u(x) = v(y(x)) mit v(x) = 1/x . Wenn du jetzt noch die Kettenregel kennst, sollte das Ableiten kein Problem sein.

Zitat:

Original von jacky23
Soll ich jetzt y' mit u'ersetzen?

Nein. Offensichtlich ist nicht u' = y', sondern es ist u' = -y' / y² . Wie gesagt: wenn du die DGL noch durch y² dividierst, mußt du mal suchen, wo du -y' / y² findest. Meinetwegen kannst du auch u' = -y' / y² nach y' umstellen, wenn dir das leichter fällt.

08.03.2018, 13:10

jacky23

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$\begin{eqnarray*} \frac{y'}{y^2} = x+\frac{y}{y^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u'(x) = -x- \frac{y}{y^2} \end{eqnarray*}$

Musste das Vorzeichen umdrehen oder ?

Wie geht es weiter?

Nicht sicher verwirrt

08.03.2018, 13:27

klarsoweit

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Zitat:

Original von jacky23
Musste das Vorzeichen umdrehen oder ?

Korrekt.

Zitat:

Original von jacky23
Wie geht es weiter?

Wie das Substituieren nun mal so ist: du schon alle y substituieren.

08.03.2018, 13:32

jacky23

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$\begin{eqnarray*} \frac{y'}{y^2} = x+\frac{y}{y^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u'(x) = -x- u(x) \end{eqnarray*}$

Musste das Vorzeichen umdrehen oder ?

verwirrt

Wie geht es weiter?

08.03.2018, 13:57

klarsoweit

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Zitat:

Original von jacky23
Musste das Vorzeichen umdrehen oder ?

Das hatte ich schon bestätigt.

Zitat:

Original von jacky23
Wie geht es weiter?

Ja wie wohl? Löse die DGL. Wie man leicht sieht, ist das eine lineare, inhomogene DGL. Lösungsmethoden davon solltest du kennen.

08.03.2018, 14:03

jacky23

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$\begin{eqnarray*} u'(x) = -x- u(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} du/dx +x =- u(x) \end{eqnarray*}$

Trennung der Variablen kenne ich .

Aber irgendwie komme ich hier nicht weiter ? verwirrt

08.03.2018, 14:16

klarsoweit

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Zuerst löst man das homogene Problem u' + u = 0 . Wenn man sich mit DGLs auskennt, schüttelt man die allgemeine Lösung aus dem Ärmel. Trennung der Variablen geht natürlich auch, wenn man überhaupt keine Idee hat. Bei einer linearen DGL wie hier ist das aber unnötig.

08.03.2018, 14:33

jacky23

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Durch so viele Themen alles wieder vergessen Big Laugh

u`+u = 0

Es gibt den ansatz y= e^lambda *x?

08.03.2018, 14:43

jacky23

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u+1 = 0

u = -1

Wie soll es weiter gehen ?

08.03.2018, 14:48

klarsoweit

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Daraus mußt du jetzt die allgemeine Lösung der homogenen DGL zusammenbasteln. Danach mußt du eine spezielle Lösung p(x) bestimmen. Das geht mit Variation der Konstanten oder - weil rechts ein Polynom steht - mit dem Ansatz p(x) = A*x + B . smile

08.03.2018, 14:57

jacky23

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homogene lösung

u' +u = 0
$\begin{eqnarray*} yh =c_1*e^{-1x} \end{eqnarray*}$

Ok?

08.03.2018, 15:02

klarsoweit

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Ja.

08.03.2018, 15:06

jacky23

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Partikülar.

u' +u = -x

u' +u = -ax+b

Soll ich jetzt meine homogene Lösung ableiten und dann für u`einsetzen ?

08.03.2018, 15:14

klarsoweit

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Zitat:

Original von jacky23
u' +u = -ax+b

Nein, du sollst den Ansatz u(x) = ax + b in die DGL einsetzen.

08.03.2018, 15:26

jacky23

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$\begin{eqnarray*} u'(x) +u(x) = -x \end{eqnarray*}$

u(x) = ax+b

u'(x)= a

$\begin{eqnarray*} a+ax+b = -x \end{eqnarray*}$

Was mache ich jetzt ?

Habe zu lange schon keine DGL gelöst Big Laugh

08.03.2018, 15:35

klarsoweit

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Man merkt's. Aber auch ohne Kenntnisse scheinen deine grauen Zellen keine große Lust zu haben, auch mal selbst in Aktion zu treten.

Jetzt hast du links und rechts ein Polynom. Wie mußt du nun a und b wählen, damit links und rechts dasselbe steht? Das schafft ja schon ein durchschnittlicher Mittelstufenschüler. geschockt

08.03.2018, 15:54

jacky23

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$\begin{eqnarray*} u'(x) +u(x) = -x \end{eqnarray*}$

u(x) = ax+b

u'(x)= a

$\begin{eqnarray*} a+ax+b = -x \end{eqnarray*}$

a= 1 b= 1

1+x+1 = -x

x+1 = -x-1

So ?

08.03.2018, 15:58

klarsoweit

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Zitat:

Original von jacky23
1+x+1 = -x

Blöd ist nur, daß - wie man auch leicht sieht - links und rechts unterschiedliche Polynome stehen. Also Ziel verfehlt --> noch ein Versuch.

08.03.2018, 16:03

jacky23

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$\begin{eqnarray*} u'(x) +u(x) = -x \end{eqnarray*}$

u(x) = ax+b

u'(x)= a

$\begin{eqnarray*} a+ax+b = -x \end{eqnarray*}$

a= -1 b= +1

-1-x+1= -x

-x-1 = -x-1

Weiter?

09.03.2018, 08:41

klarsoweit

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Zitat:

Original von jacky23
-x-1 = -x-1

Diese Zeile ist etwas überflüssig. Aus der Zeile davor ergibt sich schon die Korrektheit der gewählten Werte für a und b.

Zitat:

Original von jacky23
Weiter?

Befinden sich deine grauen Zellen immer noch im Tiefschlaf? Oder warum muß man dir jeden Mikro-Schritt erklären? Zur Erinnerung: wir sind hier im Hochschulbereich. Da gehen wir davon aus, daß du über die allgemeine Hochschulreife verfügst. Diese beinhaltet, daß man gewisse Fertigkeiten im Bereich selbstständiges Arbeiten erlernt hat.

Nun denn. Setze deine Ergebnisse für a und b in den Ansatz ein. Das ist dann eine spezielle Lösung. Die allgemeine Lösung für die inhomogene DGL ist dann die Summe aus der allgemeinen homogenen Lösung und der speziellen Lösung.

09.03.2018, 09:14

jack23

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Meinst du es so ?

Unser Ansatz war ja ax+b

y = yh +yp

also y= c1*e^{-1x}-x+x

09.03.2018, 09:30

klarsoweit

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Deine Ignoranz ist schon ziemlich einmalig. Aber das scheint dich ja nicht zu kümmern. Ist es denn so schwer, die Werte für a und b in

Zitat:

Original von jacky23
u(x) = ax+b

einzusetzen? verwirrt

09.03.2018, 09:45

jack23

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So meintest du es also

u(x) =-x+1

smile

Das war es oder wie ?

09.03.2018, 10:06

klarsoweit

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Ja und nein. Wie gesagt: jeden Mikro-Schritt fragst du nach, obwohl ich ihn schon beschrieben habe:

Zitat:

Original von klarsoweit
Das ist dann eine spezielle Lösung. Die allgemeine Lösung für die inhomogene DGL ist dann die Summe aus der allgemeinen homogenen Lösung und der speziellen Lösung.

Mir ist ein Rätsel, wie du mit diesen Null-Kenntnissen zu einem erfolgreichen Studienabschluß kommen willst. unglücklich

09.03.2018, 13:41

jack23

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y= c1*e^{-1x}-x+1

Jetzt ok ?

09.03.2018, 13:52

klarsoweit

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Besser: $\begin{eqnarray*} u_{allg}(x) = c \cdot e^{-x} - x + 1 \end{eqnarray*}$

Jetzt erinnern wir uns, daß wir substituiert hatten, und sich somit die eigentliche Lösung aus y(x) = 1 / u(x) ergibt. Obendrein mußt du dann noch die Konstante c so wählen, daß die Anfangsbedingung y(0) = 1 paßt. smile

09.03.2018, 14:09

jacky23

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$\begin{eqnarray*} y(x) =\frac{1}{c1*e^{-1x}-x+1} \end{eqnarray*}$

c1 = 0 wählen oder ?

09.03.2018, 14:13

klarsoweit

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Ja. Hurra, damit wäre (endlich) das Ziel erreicht. Wenn du magst (und das wäre auch meine Empfehlung), kannst du gerne noch die Probe machen. smile

09.03.2018, 14:17

jacky23

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Ich poste lieber gleich eine neue Aufgabe an der wir üben können Big Laugh