Koordinatentransformation Polarkoordinaten

08.03.2018, 21:46

Thermaldetonator

Koordinatentransformation Polarkoordinaten

Hallo zusammen,

ich knacke grad ein bisschen an einer Übungsaufgabe zum Thema Integration in Polarkoordinaten.

Mein Problem ist, dass ich nicht drauf komme, wie man die Grenzen für den Winkel Phi bestimmt.

Anbei findet ihr die Aufgabe. Die Lösung sieht folgende Integrationsgrenzen vor:

$\begin{eqnarray*} 1\leq r\leq 2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{\pi}{4}\leq \phi \leq \frac{3\Pi}{4} \end{eqnarray*}$

Wie ich auf den Bereich für r komme ist mir klar.

Phi muss ich mir aus den Nebenbedingungen zaubern:

$\begin{eqnarray*} y\geq 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -y\leq x\leq y \end{eqnarray*}$

Mein Gedanke ist nun folgender für $\begin{eqnarray*} x\leq y \end{eqnarray*}$
muss gelten $\begin{eqnarray*} tan(\phi)= \frac{y}{x} \geq 1 \qquad wenn \, x\leq y \end{eqnarray*}$

außerdem $\begin{eqnarray*} tan(\phi)= \frac{-y}{x} \geq -1 \qquad wenn\ -y\leq x \end{eqnarray*}$

Daraus erhielt ich dann: $\begin{eqnarray*} \Phi\leq -\frac{\Pi}{4} \qquad und \qquad \Phi\geq \frac{\Pi}{4} \end{eqnarray*}$
bzw. $\begin{eqnarray*} \frac{\Pi}{4} \leq \Phi\leq -\frac{\Pi}{4} \end{eqnarray*}$

Das stimmt aber nicht mit der Vorgabe überein, zumal ich bei einer negativen Grenze in zwei Schritten integrieren müsste und eine Drehung nur von 0 bis 360° also 0 bis 2Pi geht.

Was übersehe ich hier?

Vielen Dank im Voraus!

Gruß Lars

09.03.2018, 00:24

sibelius84

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Hallo Lars,

mach dir am besten eine Skizze. Die Geraden y=x, y=-x und y=0 kannst du ja leicht einzeichnen, einen Kreis auch (bzw. auch zwei), und dann siehst du, welcher Bereich gemeint ist. In diesem Fall genau der Bereich zwischen 45° und 135° (von der positiven x-Achse abgetragen), also in Bogenmaß zwischen $\begin{eqnarray*} \frac\pi 4 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \frac{3\pi}{4} \end{eqnarray*}$ .

LG
sibelius84

09.03.2018, 01:24

Thermaldetonator

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Danke für deine Antwort!

Anbei eine Skizze. So komme ich auf den Bereich zwischen den Geraden. Stimmt also mit der Lösung überein.

Gibt es eine Regel das herzuleiten? Bzw. kennt jemand ein Video/Homepage auf der das beschrieben wird?

Im Papula und im Netz habe ich bisher nur ganze "Drehungen" gefunden, bzw. Aufgaben bei denen es heißt "ein Halbkreis" o.ä..

Gruß

09.03.2018, 09:18

Steffen Bühler

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RE: Koordinatentransformation Polarkoordinaten

Zitat:

Original von Thermaldetonator
$\begin{eqnarray*} y\geq 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -y\leq x\leq y \end{eqnarray*}$

Mein Gedanke ist nun folgender für $\begin{eqnarray*} x\leq y \end{eqnarray*}$
muss gelten $\begin{eqnarray*} tan(\phi)= \frac{y}{x} \geq 1 \qquad wenn \, x\leq y \end{eqnarray*}$

außerdem $\begin{eqnarray*} tan(\phi)= \frac{-y}{x} \geq -1 \qquad wenn\ -y\leq x \end{eqnarray*}$

Hier entsteht das Problem. Denn wenn y positiv ist, bedeutet die letzte Ungleichung ja, dass x negativ ist. Und in diesem Fall kann der Winkel nicht einfach über den atan berechnet werden, sondern es müssen noch 180° addiert werden, wie Du in unserem Workshop nachlesen kannst.

Das heißt, der Winkel $\begin{eqnarray*} - \frac {\pi}4 \end{eqnarray*}$ wird zu $\begin{eqnarray*} \frac {3 \pi}4 \end{eqnarray*}$

Viele Grüße
Steffen

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