Stetigkeit prüfen

09.03.2018, 09:13

DerJoker

Stetigkeit prüfen

Hallo,

ich beschäftige mich momentan mit folgender Aufgabe:

Sei $\begin{eqnarray*} f:\left[0,1\right] \rightarrow \mathbb R, x \mapsto \begin{cases} \frac{2^n}{n!} &\mbox{für } x = \frac{1}{n}, n \geq 1 \\<br /> 0 & \mbox{für } x \in \left[0,1\right]\setminus \left\{ \frac{1}{n} | n\geq 1\right\} \end{cases} \end{eqnarray*}$ gegeben. Bestimmen Sie alle Punkte, in denen die Funktion
stetig ist.

Ich vermute, die Funktion ist in allen Punkten $\begin{eqnarray*} \left\{ \frac{1}{n} | n\geq 1\right\} \end{eqnarray*}$ nicht stetig und in allen übrigen stetig.

Ist $\begin{eqnarray*} x = \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ für ein $\begin{eqnarray*} n \geq 1 \end{eqnarray*}$ . Für $\begin{eqnarray*} k \in \mathbb N_{\geq n} \end{eqnarray*}$ gilt dann $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} > \frac{1}{k\sqrt{2}} \end{eqnarray*}$ und somit
ist $\begin{eqnarray*} (a_{k})_{k\geq n} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a_{k}:= \frac{1}{n} - \frac{1}{k\sqrt{2}} \in \left[0,1\right]\setminus \left\{ \frac{1}{n} | n\geq 1\right\} \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} a_{k} \rightarrow \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ . Sei $\begin{eqnarray*} \epsilon:= \frac{2^n}{n!} > 0 \Rightarrow |f(a_{k}) - \frac{2^n}{n!} | = \frac{2^n}{n!} = \epsilon \end{eqnarray*}$ . Somit ist die
Funktion nicht stetig in $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ .

Sei nun $\begin{eqnarray*} (a_{n})_{n \in \mathbb N} \end{eqnarray*}$ eine Folge in $\begin{eqnarray*} \left[0,1\right] \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a_{n} \rightarrow a \in \left[0,1\right]\setminus \left\{ \frac{1}{n} | n\geq 1\right\} \end{eqnarray*}$ .
Wir unterscheiden zwei Fälle.

Fall 1: Die Folge enthält nur endlich viele Folgenglieder der Form $\begin{eqnarray*} \frac{1}{m} \end{eqnarray*}$ für ein $\begin{eqnarray*} m \geq 1 \end{eqnarray*}$ . Dann existiert ein $\begin{eqnarray*} k_{m} \end{eqnarray*}$ s.d.
für alle $\begin{eqnarray*} n \geq k_{m} \end{eqnarray*}$ alle Folgenglieder in $\begin{eqnarray*} \left[0,1\right]\setminus \left\{ \frac{1}{n} | n\geq 1\right\} \end{eqnarray*}$ liegen. Dann gilt aber:

$\begin{eqnarray*} \forall \epsilon > 0: |f(a_{n}) - f(a)| = 0 < \epsilon \forall n \geq k_{m} \end{eqnarray*}$ d.h. $\begin{eqnarray*} f(a_{n}) \rightarrow f(a) \end{eqnarray*}$ .

Fall 2: Die Folge enthält unendlich viele Folgenglieder der Form $\begin{eqnarray*} \frac{1}{m} \end{eqnarray*}$ für ein $\begin{eqnarray*} m \geq 1 \end{eqnarray*}$ . Dann enthält die Folge
$\begin{eqnarray*} f(a_{n})_{n \in \mathbb N} \end{eqnarray*}$ eine Teilfolge $\begin{eqnarray*} (f(a_{n_{k}}))_{k \in \mathbb N} \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} (\frac{2^n}{n!})_{n \in \mathbb N} \end{eqnarray*}$ .
Dann ist $\begin{eqnarray*} (f(a_{n_{k}}))_{k \in \mathbb N} \end{eqnarray*}$ eine Nullfolge. Somit existiert ein für jedes $\begin{eqnarray*} \epsilon > 0 \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} k_{\epsilon} \end{eqnarray*}$ s.d.
für alle $\begin{eqnarray*} n_{k} \geq n_{k_{\epsilon}} \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} |f(a_{n_{k}})| < \epsilon \end{eqnarray*}$ . Dann gilt aber auch $\begin{eqnarray*} |f(a_{n})| < \epsilon \end{eqnarray*}$ für alle
$\begin{eqnarray*} n \geq n_{k_{\epsilon}} \end{eqnarray*}$ , da $\begin{eqnarray*} f(a_{n}) = 0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} a_{n} \in \left[0,1\right]\setminus \left\{ \frac{1}{n} | n\geq 1\right\} \end{eqnarray*}$ d.h.
$\begin{eqnarray*} f(a_{n}) \rightarrow f(a) \end{eqnarray*}$ .

Somit ist $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ stetig in jedem Punkt der Menge $\begin{eqnarray*} \left[0,1\right]\setminus \left\{ \frac{1}{n} | n\geq 1\right\} \end{eqnarray*}$ .

Sind meine Überlegungen korrekt? Falls ja, wie kann man es abkürzen?

Viele Grüße

10.03.2018, 16:48

sibelius84

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Hi,

den zweiten Teil kannst du fürwahr beträchtlich abkürzen, denn bei den Punkten ungleich Null, die nicht von der Form 1/n sind, existiert eine (kleine) Umgebung, wo die Funktion konstant ist, insbesondere also dann stetig.

Bei dem ersten Teil sind n und k absolut verwirrend. Möglicherweise hast du dich damit auch selber verwirrt. Ich würde mit n_0 oder N als fester Zahl, und n als Variable arbeiten.

Wichtig wäre noch, die Stetigkeit im Nullpunkt zu untersuchen, denn hier ist die Funktion nicht lokal konstant, d.h. mein Argument von oben zieht nicht und man muss separat argumentieren.

LG
sibelius84

10.03.2018, 18:31

DerJoker

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Hi,

erst Mal vielen Dank für deine Hilfe smile

Zitat:

Original von sibelius84

den zweiten Teil kannst du fürwahr beträchtlich abkürzen, denn bei den Punkten ungleich Null, die nicht von der Form 1/n sind, existiert eine (kleine) Umgebung, wo die Funktion konstant ist, insbesondere also dann stetig.

Ok. Ist $\begin{eqnarray*} x \in \left(0,1\right]\setminus \left\{ \frac{1}{n} | n\geq 1\right\} \end{eqnarray*}$ so gibt es eine minimale natürliche Zahl $\begin{eqnarray*} n_{x} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x \in (\frac{1}{n_{x}}, \frac{1}{n_{x}-1}) \end{eqnarray*}$ . Dann entspricht die Funktion eingeschränkt auf diesem Intervall der Nullfunktion und ist somit konstant also stetig.

Zitat:

Bei dem ersten Teil sind n und k absolut verwirrend. Möglicherweise hast du dich damit auch selber verwirrt. Ich würde mit n_0 oder N als fester Zahl, und n als Variable arbeiten.

Was genau verwirrt dich denn dabei? Ich wähle ein Element aus der Menge $\begin{eqnarray*} \left\{ \frac{1}{n} | n\geq 1\right\} \end{eqnarray*}$ und konstruiere eine Folge, welche gegen dieses Element konvergiert. Die Folge ist dabei so gewählt, dass deren Folgenglieder in $\begin{eqnarray*} \left[0,1\right]\setminus \left\{ \frac{1}{n} | n\geq 1\right\} \end{eqnarray*}$ liegen. Somit ist der Funktionswert aller Folgenglieder gleich Null. Der Funktionswert meines gewählten Elements hingegen ist ungleich der Null. Also wähle ich mein Epsilon entsprechend. Ich habe also eine Folge gefunden welche gegen mein gewähltes Element konvergiert, aber die Folge ihrer Funktionswert konvergiert nicht gegen den Funktionswert meines gewählten Elements. Somit ist die Funktion in meinem gewählten Punkt nicht stetig.

Zitat:

Wichtig wäre noch, die Stetigkeit im Nullpunkt zu untersuchen, denn hier ist die Funktion nicht lokal konstant, d.h. mein Argument von oben zieht nicht und man muss separat argumentieren.

Hier würde ich ehrlich gesagt analog mit meiner Fallunterscheidung aus meinem ersten Post argumentieren. Das wäre dann aber nicht wirklich besser Big Laugh

. Wie kann man denn da leichter argumentieren?

Viele Grüße und Danke

11.03.2018, 00:46

sibelius84

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Zu b): Stimmt, hast Recht, kann man so machen. (Fände trotzdem andere Notation besser, aber sei's drum Augenzwinkern

)

Zu c): Zu epsilon musst du delta finden mit |f(x)| < epsilon, wenn |x| < delta.
Ich würde mir überlegen, ob es ein N gibt mit 2^N/N! < epsilon, und wenn ja, warum es das gibt. Das delta kannst du damit dann leicht entsprechend einsperren, sodass alles klappt.

12.03.2018, 08:20

DerJoker

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Hi,

alles klar. Sei $\begin{eqnarray*} \epsilon > 0 \end{eqnarray*}$ beliebig. Da $\begin{eqnarray*} (\frac{2^n}{n!})_{n \in \mathbb N} \end{eqnarray*}$ eine Nullfolge ist, existiert ein $\begin{eqnarray*} N \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ s.d. für alle $\begin{eqnarray*} n \geq N \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} \frac{2^n}{n!} < \epsilon \end{eqnarray*}$ . Wir wählen $\begin{eqnarray*} \delta_{\epsilon}:= \frac{1}{N} \end{eqnarray*}$ . Dann gilt für alle $\begin{eqnarray*} x \in \left\{ \frac{1}{n} | n > N \right\}: | x | = \frac{1}{n} < \delta_{\epsilon} \Rightarrow \frac{2^n}{n!} < \epsilon \end{eqnarray*}$ . Ist $\begin{eqnarray*} x \in \left[0,1\right]\setminus \left\{ \frac{1}{n} | n\geq 1\right\} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} | x | < \delta_{\epsilon} \Rightarrow | f(x) | = 0 < \epsilon \end{eqnarray*}$ .

Vielen Dank Freude

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