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09.03.2018, 14:58

jacky23

Dgl

Hallo alle zusammen leider stecke ich bei dieser Aufgabe vor ?

Ich weiss dass ich zuerst die homogene Lösung bestimme soll ,aber wirkt bei dieser Aufgabe kompliziert .

Bitte um Hilfe ( Big Laugh

)

09.03.2018, 15:03

klarsoweit

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RE: Dgl

Zitat:

Original von jacky23
Ich weiss dass ich zuerst die homogene Lösung bestimme soll ,aber wirkt bei dieser Aufgabe kompliziert .

Wieso?

Die homogene Lösung ist doch angegeben. Du mußt (durch Nachrechnen / Einsetzen) nur zeigen, daß diese stimmt. smile

09.03.2018, 15:05

jacky23

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Stimmt .
Für was soll ich die homogene Lösung einsetzen?

09.03.2018, 16:36

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Oh je.

Angenommen, du hast die Gleichung x² - 3x + 5 = 3 und jemand behauptet, x_0 = 2 ist eine Lösung. Was machst du?

09.03.2018, 18:10

jacky23

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Pq Formel anwenden.

Aber von welcher Gleichung bei unserer Aufgabe?

09.03.2018, 18:19

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Zitat:

Original von jacky23
Pq Formel anwenden.

Unfug. Du setzt für jedes x die behauptete Lösung ein und schaust, ob dann eine wahre Gleichung entsteht.

Ähnliches machst du bitte schön mit der behaupteten homogenen Lösung. Setze sie für y in die DGL ein. Bei y' mußt du natürlich vorher noch die Ableitung bilden.

09.03.2018, 19:10

jacky23

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y(x) = c*e^{sinx}

$\begin{eqnarray*} y`(x) = cos(x) *c*e^{sin(x)} \end{eqnarray*}$

einsetzen:
$\begin{eqnarray*} cos(x) *c*e^{sin(x)} =(1+c*e^{sinx})*cos(x) \end{eqnarray*}$

durch cos(x) teilen

$\begin{eqnarray*} c*e^{sin(x)} =(1+c*e^{sinx}) \end{eqnarray*}$

Ist das so richtig?

10.03.2018, 08:57

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Ja und nein. Leider habe ich den Hinweis vergessen, daß du aus der gegebenen DGL vorher noch die homogene DGL extrahieren mußt. Hammer

Wenn man die Klammer auf der rechten Seite auflöst, haben wir: $\begin{eqnarray*} y' = cos(x) + y \cdot cos(x) \end{eqnarray*}$

Die homogene DGL bekommst du, wenn du alle Teile, die nichts mit y zu tun haben, wegläßt. Also:

$\begin{eqnarray*} y' = y \cdot cos(x) \end{eqnarray*}$

In diese mußt du deine homogene Lösung einsetzen. Im Prinzip ist das ja Teil deiner schon gemachten Rechnung.

10.03.2018, 09:27

jacky23

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$\begin{eqnarray*} y' = y \cdot cos(x) \end{eqnarray*}$

In diese mußt du deine homogene Lösung einsetzen. Im Prinzip ist das ja Teil deiner schon gemachten Rechnung.

Hier eingesetzt:

$\begin{eqnarray*} cos(x)*c*e^{sinx)} =c*e^{sinx)}*cos(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} c*e^{sinx)} =c*e^{sinx)} \end{eqnarray*}$

Also richtig Big Laugh

Paar Tipps zu Variation der Konstanten?

10.03.2018, 12:16

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Da hilft ein Blick ins Vorlesungsskript, in ein gutes Mathebuch oder auch Google. Augenzwinkern

(Thema selbstständiges Arbeiten, aber wahrscheinlich magst du davon nichts hören.)

Nun denn. Du nimmst die allgemeine homogene Lösung $\begin{eqnarray*} y(x) = c \cdot e^{sin(x)} \end{eqnarray*}$ und machst aus der Konstanten c eine Funktion c(x). Für die inhomogene Lösung hast du also den Ansatz $\begin{eqnarray*} y(x) = c(x) \cdot e^{sin(x)} \end{eqnarray*}$ . Das setzt du nun in die ursprüngliche DGL ein. smile

10.03.2018, 17:19

jack23

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Hi Ich habe das mal eingesetzt und habe nach c‘(x) aufgelöst :

c‘(x) =cos(x)/e^{sinx}

C(x) = integral cos(x)/e^{sinx}dx

Soweit in Ordnung ?

Soll ich das sin(x) substituieren ?

10.03.2018, 17:22

jack23

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Ich habe jetzt ein Integral 1/e^{u} du

nach der Substitution bekommen.

Wie integriere ich das ?

11.03.2018, 14:23

jacky23

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Noch da?

11.03.2018, 14:51

Mulder

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Du weißt nicht, wie du $\begin{eqnarray*} \frac{1}{e^u} = e^{-u} \end{eqnarray*}$ integrieren sollst? verwirrt

11.03.2018, 14:53

jacky23

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Oh das Integral wäre einfach e^{-u}+C ?

Ist aber mein Ergebnis soweit in Ordnung bis hierhin?

12.03.2018, 08:55

klarsoweit

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Zitat:

Original von jacky23
Oh das Integral wäre einfach e^{-u}+C ?

Dann leite das mal zur Kontrolle ab. Denke auch an die Kettenregel.

12.03.2018, 09:44

jack23

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-u^2/(2*e^{-u})+C

So besser ?

12.03.2018, 10:16

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Was soll das jetzt sein? Eine Stammfunktion von $\begin{eqnarray*} e^{-u} \end{eqnarray*}$ ?
Bevor das jetzt in eine unendliche Geschichte ausartet: das ist $\begin{eqnarray*} -e^{-u} + C \end{eqnarray*}$
In diesem Fall kannst du noch die Integrationskonstante weglassen, denn wir sind ja nur an einer Lösung interessiert.

12.03.2018, 10:39

jack23

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Öde wie soll ich sonst integrieren ?

12.03.2018, 10:48

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Man kann es auch mal rustikal machen. Du suchst eine Stammfunktion von $\begin{eqnarray*} e^{-u} \end{eqnarray*}$ ? Nun denn, erster Verdacht ist, daß es $\begin{eqnarray*} e^{-u} \end{eqnarray*}$ sein könnte (Konstante laß ich mal weg).
Also leiten wir $\begin{eqnarray*} e^{-u} \end{eqnarray*}$ mal ab und kommen auf $\begin{eqnarray*} -e^{-u} \end{eqnarray*}$ . Hm, blöd. Das stimmt fast, nur das Vorzeichen paßt nicht. Also verdrehen wir in der vermeintlichen Stammfunktion das Vorzeichen (das ist dann $\begin{eqnarray*} -e^{-u} \end{eqnarray*}$ ) und schon ist alles gut. smile

12.03.2018, 10:56

jack23

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Rücksubstitution :

-e^{-sinx}+C

Variation Konstanten :

-e^{-sinx}+C(x) = y(x)

Das jetzt ableiten und Dgl einsetzen ?

12.03.2018, 11:34

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Zitat:

Original von jack23
Rücksubstitution :

-e^{-sinx}+C

Wie ich schon sagte, kannst du die Integrationskonstante weglassen.

Zitat:

Original von jack23
Variation Konstanten :

-e^{-sinx}+C(x) = y(x)

Ich weiß jetzt nicht, was das soll. Der Ansatz lautete $\begin{eqnarray*} y(x) = c(x) \cdot e^{sin(x)} \end{eqnarray*}$ . Inzwischen haben wir raus, daß $\begin{eqnarray*} c(x) = -e^{-sin(x)} \end{eqnarray*}$ ist. Das setzt du nun in den Ansatz ein und bekommt eine Lösung der inhomogenen DGL.

12.03.2018, 14:11

jack23

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y(x) = -e^{-sin(x)}*e^{sin(x)}

Das wars ?

12.03.2018, 14:13

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Nun ja, du darfst jetzt die Potenzregeln bemühen und diesen tollen Ausdruck noch etwas vereinfachen. Augenzwinkern

12.03.2018, 15:22

jack23

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Kommt dann -1 raus ?