Lineare Algebra 2

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doki1994 Auf diesen Beitrag antworten »
Lineare Algebra 2
Meine Frage:
Wie kann man die 8a) beweisen ?
Wie kann man die Dimensionen ablesen bzw. bestimmen bei der b)?

Meine Ideen:
Zur a) Beweis mit der Dimensionsformel
Zur b) Durch die Dimensionsformel die Dimensionen bestimmen
PWM Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineare Algebra 2
Hallo,

wie das mit der Dimensionsformel gehen soll, weiß ich nicht.

Aber es geht so: Du musst zeigen, dass sich jede Matrix X eindeutig als Summe X=A+B (*) darstellen lässt, wobei A symmetrisch ist und B antysymmetrisch. Bilde aus (*) mal die transponierte Gleichung, dann erhältst Du eine zweite Gleichung und kannst A und B mit Hilfe von X und X^T ausdrücken ...

Bei b) kann man die Dimensionen doch durch direktes abzählen erkennen. Zum Beispiel ist doch eine Matrix durch n^2 Zahlen bestimmt ...

Gruß pwm
doki1994 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineare Algebra 2
Hey danke für die Antwort.
Zur a)

X=A+B mit A=A^T und B=-B^T.

X^T=(A+B)^T <=> X^T= A^T + B^T

Wir zeigen erst A=A^T :

X^T= A^T + B^T <=> A^T=X^T - B^T setze X=A+B
<=> A^T=(A+B)^T - B^T
<=> A^T=A^T + B^T - B^T=A somit A=A^T.
Jetzt zeigen Wir B=-B^T

X^T= A^T + B^T <=> B^T=X^T - A^T setze X=A+B
<=> B^T=(A+B)^T - A^T
<=> B^T=A^T + B^T - A^T= -B
<=> -B^T=B

b) dim(V)=n^2 + n^2 = 2n^2
dim(V^+)= n^2 = dim(V^-)

Ist das soweit Richtig ?
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