Spektralsätze |
| 09.03.2018, 17:10 | doki1994 | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Spektralsätze Muss man a),b),c) Einzelt beweisen? Oder muss man a-> b, a->c, b-> zeigen? Zur a) wie zeigt man einen Isomorphismus? Bei der b) haben wir eine Isometrie ? c) sagt ja was über Diagonalisierbarkeit ? Meine Ideen: Meine Idee wäre , man nimmt an das F ein Isomorphismus ist, somit ein Bijektiver Endomorphismus. Nach b) ist lambda ein Eigenwert von F und |lambda|= 1, dies sagt ja, dass F eine Isometrie ist und wenn F eine Isometrie ist, so ist die der(f)=1, somit ungleich 0 und F ist Invertierter, was uns zeigt das F Bijektiv ist. Nach c) besitzt V eine Orthonormalbasis bestehend aus Eigenvektoren von F. Wir sagen das F Unitär ist und somit fällt das Charpoly von F in Linearfaktoren und F ist diagonalisierbar, da V eine Orthonormalbasis bestehend aus Eigenvektoren besitzt. Das sagt uns Ja das die Eigenvektoren Orthogonal sind und die Längen nach 1 normiert sind. Und da F eine Isometrie ist sind die längen der Eigenwerte 1 und somit sind die algebraischen vielfachheiten auch 1 , und es gibt paarweise verschiedene Eigenwerte. |
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| 09.03.2018, 21:24 | sibelius84 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Hi, die drei Aussagen sind einzeln zu beweisen. (Sonst stünde da: "Zeigen Sie, dass äquivalent sind: ...".) Für a) musst du nur die Definition scharf angucken und die entsprechende Folgerung daraus hinschreiben. Für b) würde ich benutzen (ich hoffe, das dürft ihr?), dass unitäre Abbildungen auch unitäre Darstellungsmatrizen haben, wenn die zugrunde liegende Basis eine Orthonormalbasis ist. Sei also B eine ONB und A die Matrixdarstellung von F bzgl. B. Nimm dir dann zu einem Eigenwert lambda einen Eigenvektor x (das bedeutet insbesondere ) und betrachte . Die linke Seite kannst du umschreiben unter Verwendung der Tatsache, dass x ein Eigenvektor zum Eigenwert lambda ist. Auf der rechten Seite kannst du anwenden, dass A unitär ist. Für c) - oha, das ist der Spektralsatz, da bin ich gerade überfragt... vielleicht fällt mir später noch was dazu ein. LG sibelius84 |
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| 09.03.2018, 22:33 | doki1994 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Hey danke !!! zur a) Isomorhismus bedeutet doch : Die Abbildung ist bijektiv und ein homomorphismus. (Richtig?) Wenn eine Abbildung Bijektiv ist, dann muss Ja die Abbildung injektiv und surjektiv sein. Inejktiv kann man ja zeigen, dass die dim(ker(f))=0 ist. Surjektiv ist ja , wenn rk(f)=dim(W). Homomorphismus kenn Ich auch die Definition. Das Problem ist hab nur gegeben das F ein Endomorphismus ist und Unitär. Ich weiß, dass F unitär ist, dann folgt ja dim(ker(f))=0 ist und dimV=dim(im(f)) ist. Wie kann Ich zeigen, dass dim(im(f))=rk(f)=dim(W) ist ? Wie kann Ich zeigen ,dass es ein Homomorphismus ist? Zur b) Geht es auch so ? : x sind Eigenwerte ||v||=||fv||=||xv||=|x|||v|| und damit |x|=1 Die Eigenwerte einer unitären Matrix haben alle Betrag 1. Liebe Grüße, Doki |
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| 09.03.2018, 22:49 | sibelius84 | Auf diesen Beitrag antworten » |
F € End V bedeutet bereits, dass F ein Homomorphismus ist. Könntest du mal die genaue Definition davon angeben, dass eine Abbildung unitär ist? (Ich frage, weil in unterschiedlichen Vorlesungen manchmal unterschiedliche Definitionen benutzt werden.) Kann es sein, dass du bei deinem Versuch zu b) von der Behauptung ausgegangen bist? |
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| 09.03.2018, 23:04 | doki1994 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ok gut danke. Und wie zeige Ich genau das es Bijektiv ist, hab Ja alles gezeigt außer rk(f)=dim(W). Also haben alle Definitionen was auch bei Wiki steht : Genau bin bei der b) von der Behauptung ausgegangen. |
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| 10.03.2018, 01:31 | sibelius84 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Bei Endomorphismen endlichdimensionaler Vektorräume ist Injektivität bereits zur Bijektivität äquivalent. Bei b) bin ich jetzt verwirrt, ich glaube jetzt nämlich dein Vorgehen (endlich) verstanden zu haben und es sieht mir nicht danach aus, dass du von der Behauptung ausgegangen bist. Der fragliche Schritt ist ||fv||=||v||, weißt du, warum das gilt? Wenn ja, dann ist der Beweis sauber! edit: hab hier noch was gefunden: https://www.math.uni-bielefeld.de/~sek/la2/leit5.pdf -> Seite 42 |
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| 10.03.2018, 11:11 | doki1994 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Danke !! zur b) das gilt ja wegen xx^*<v,v>=<xv,xv>=< fv,fv > =<v,v> xx^*=1 und |x|=sqrt(xx^*)=1 x^* heißt konjugiert. |
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| 10.03.2018, 16:36 | sibelius84 | Auf diesen Beitrag antworten » |
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