Wurzel vereinfachen

09.03.2018, 17:16	Snexx_Math	Auf diesen Beitrag antworten »
Wurzel vereinfachen Hallo zusammen, ich scheitere daran folgende Wurzel zu vereinfachen: $\begin{eqnarray} \sqrt{3+2\cdot \sqrt{2}}-\sqrt{2} \end{eqnarray}$ Das soll vereinfacht 1 sein. Jedoch scheitere ich dabei dies umzuformen: $\begin{eqnarray} \sqrt{3+2\cdot \sqrt{2}}-\sqrt{2} =\sqrt{2\cdot 1,5+2\cdot \sqrt{2}}-\sqrt{2} = \sqrt{2\cdot (1,5+ \sqrt{2})}-\sqrt{2} = \sqrt{2} \cdot (\sqrt{1,5+\sqrt{2}}-1) \end{eqnarray}$ Und nun ? Bitte helfen ! LG Snexx_Math
09.03.2018, 17:39	Mathema	Auf diesen Beitrag antworten »
Huhu, $\begin{eqnarray} 3=1+2=1+(\sqrt{2})^2 \end{eqnarray}$ Schönes Wochenende!
09.03.2018, 17:50	Snexx_Math	Auf diesen Beitrag antworten »
Also das war dann ja jetzt mit quadrieren gelöst oder ? Hatte völlig vergessen zu schreiben, dass man die Wurzeln vereinfachen sollte und dann ggf. noch die Wurzel berechnen.
09.03.2018, 17:54	Mathema	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \sqrt{3+2\cdot \sqrt{2}}-\sqrt{2}=\sqrt{1+2\cdot \sqrt{2}+(\sqrt{2})^2}-\sqrt{2}=\sqrt{\left(1+\sqrt{2}\right)^2}-\sqrt{2} \end{eqnarray}$
09.03.2018, 20:36	sibelius84	Auf diesen Beitrag antworten »
Da muss man aber schon ein geschultes bzw. geübtes Auge für haben, um das zu erkennen... Mein Ansatz wäre: $\begin{eqnarray} x_0:=\sqrt{3+2\sqrt 2 }-\sqrt 2 \end{eqnarray}$ ist Nullstelle des Polynoms $\begin{eqnarray} p:=(x+\sqrt 2)^2-3-2\sqrt 2 = x^2+2\sqrt 2 \cdot x - 1 - 2\sqrt 2 = (x^2-1) +2\sqrt 2(x-1) = (x+1)(x-1)+2\sqrt 2 (x-1) = (x-1)(x+1+2\sqrt 2) \end{eqnarray}$ . Da x_0 offenbar positiv ist, muss x_0=1 sein. Ok, da kommt man wohl auch nicht unbedingt leichter drauf als das von mathema. Ist etwas 'abenteuerlicher'. Vielleicht hilft es ja und du kannst bei anderen Aufgabenstellungen mal probieren es anzuwenden. (Auf ähnliche, wenn auch im Detail leicht andere Weise kann man übrigens zeigen, dass etwa $\begin{eqnarray} \sqrt[3]{\sqrt 5 + 2} + \sqrt[3]{\sqrt 5 - 2} = \sqrt 5 \end{eqnarray}$ , wenn ich mich richtig erinnere.)

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