Maclaurin, Grenzwert, Wurzel

09.03.2018, 22:45	ToastbrotIQ	Auf diesen Beitrag antworten »
Maclaurin, Grenzwert, Wurzel Meine Frage: Hallo, Nochmal eine Frage zum Thema. Folgender Grenzwert soll mithilfe der Maclaurinschen Reihe berechnet werden: $\begin{eqnarray} \lim_{x \to \infty } \left(x^{2} \cdot \sqrt[3]{1 + x^{3} } - x^{3} \right) \end{eqnarray}$ Als Tipp ist gegeben, dass ich den Faktor $\begin{eqnarray} x^{3} \end{eqnarray}$ herausheben und $\begin{eqnarray} x^{-3} = t \end{eqnarray}$ setzen soll. Das Ergebnis soll 1/3 werden. Meine Ideen: Ich weiß bei dieser Aufgabe nicht mal richtig wie ich anfangen soll. Ich weiß dass $\begin{eqnarray} \sqrt[3]{1 + x^{3} } = \left(1 + x^{3} \right)^{\frac{1}{3} } \end{eqnarray}$ ist. $\begin{eqnarray} \left(1 + x^{3} \right)^{\frac{1}{3} } \end{eqnarray}$ kann ich nach der Maclaurinschen Reihe entwickeln. Aber wann soll ich $\begin{eqnarray} x^{3} \end{eqnarray}$ herausheben? Gleich am Anfang, also $\begin{eqnarray} \left(x^{2} \cdot \sqrt[3]{1 + x^{3} } - x^{3} \right) = x^{3} \cdot \left(\frac{1}{x} \cdot \sqrt[3]{1 + x^{3} } - 1\right) \end{eqnarray}$ ? Und dann $\begin{eqnarray} x^{-3} = t \end{eqnarray}$ setzten, also $\begin{eqnarray} x = t^{-3} = \frac{1}{t^{3} } \end{eqnarray}$ ? Dann würde es so aussehen: $\begin{eqnarray} x^{3} \cdot \left(\frac{1}{x} \cdot \sqrt[3]{1 + x^{3} } - 1\right) = \frac{1}{t}\left(t^{3} \left(1 + \frac{1}{t}\right)^{\frac{1}{3} } - 1 \right) \end{eqnarray}$ Soll ich jetzt in $\begin{eqnarray} \left(1 + \frac{1}{t}\right)^{\frac{1}{3} } \end{eqnarray}$ die Maclaurin-Reihe einsetzen?
10.03.2018, 11:11	PWM	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Maclaurin, Grenzwert, Wurzel Hallo, vorallem sollst Du aus dem Term $\begin{eqnarray} (1+x^3)^{\frac{1}{3} } \end{eqnarray}$ den Term $\begin{eqnarray} x^3 \end{eqnarray}$ ausklammern. Der Hintergrund ist, dass die benötigte Reihenentwicklung für $\begin{eqnarray} (1+t)^{\frac{1}{3} } \end{eqnarray}$ nur für kleine t konvergiert. Gruß pwm
10.03.2018, 20:41	ToastbrotIQ	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Maclaurin, Grenzwert, Wurzel Ah! Danke für die Antwort Okay also $\begin{eqnarray} x^{2} \cdot \sqrt[3]{1 + x^{3}} - x^{3} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = x^{2} \cdot \left(1 + x^{3} \right)^{\frac{1}{3}} - x^{3} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = x^{2} \cdot x^{3} \cdot \left(\frac{1}{x^{3}} + 1\right)^{\frac{1}{3}} - x^{3} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = x^{5} \cdot \left(\ x^{-3} + 1\right)^{\frac{1}{3}} - x^{3} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \left[t = x^{-3} \Rightarrow x = t^{-3}\right] \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow \left(t^{-3}\right)^{5} \cdot \left(1 + t\right)^{\frac{1}{3}} - \left( t^{-3}\right)^{3} \end{eqnarray}$ (Maclaurin) $\begin{eqnarray} \left(1 + t\right)^{\frac{1}{3}} = 1 + \frac{1}{3}t \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow t^{-15} \cdot \left(1 + \frac{1}{3}t\right) - t^{-9} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{1 + \frac{1}{3}t}{t^{15}} - \frac{1}{t^{9}} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{3 + t}{3t^{15}} - \frac{1}{t^{9}} \end{eqnarray}$ Ich mache wahrscheinlich irgendwo einen ganz dummen Fehler. Kann ja nicht angehen, dass die Exponenten so groß sind? Gruß vom Toastbrot
30.12.2020, 19:43	mikrom	Auf diesen Beitrag antworten »
Den Grenzwert kann man wie folgt umformen: $\begin{eqnarray} \lim_{a \to \infty } (x^{2} \cdot \sqrt[3]{1+x^{3}} - x^{3}) = \lim_{a \to \infty } (x^{2} \cdot \sqrt[3]{x^{3}(1 + \frac{1}{x^{3}})} - x^{3}) = \lim_{a \to \infty } (x^{3} \cdot \sqrt[3]{(1 + \frac{1}{x^{3}})} - x^{3}) \end{eqnarray}$ Die MacLaurinsche Reihe für $\begin{eqnarray} \sqrt[3]{1+t} \end{eqnarray}$ ist: $\begin{eqnarray} \sqrt[3]{1+t} = 1 + \frac{1}{3} \cdot t + o(t) \end{eqnarray}$ und daraus folgt, daß: $\begin{eqnarray} \sqrt[3]{(1 + \frac{1}{x^{3}})} = 1 + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x^{3}} + o(\frac{1}{x^{3}}) \end{eqnarray}$ Dann bekommt man: $\begin{eqnarray} \lim_{a \to \infty } (x^{3} \cdot \sqrt[3]{(1 + \frac{1}{x^{3}})} - x^{3}) = \lim_{a \to \infty } (x^{3} \cdot (1 + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x^{3}} + o(\frac{1}{x^{3}})) - x^{3}) = \lim_{a \to \infty } (x^{3} + \frac{1}{3} + x^{3} \cdot o(\frac{1}{x^{3}}) - x^{3}) = \lim_{a \to \infty } (\frac{1}{3} + o(1)) = \frac{1}{3} \end{eqnarray}$

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