Lösungen über den Hamiltonschen Quaternionen bestimmen

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10.03.2018, 09:28	LuciaSera	Auf diesen Beitrag antworten »
Lösungen über den Hamiltonschen Quaternionen bestimmen Okay also wahrscheinlich ist die Aufgabe mega easy aber ich brauche einen Denkanstoß. Meine Aufgabe lautet: Bestimmen Sie alle Lösungen von $\begin{eqnarray} X^{2}=1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} X^{2}=-1 \end{eqnarray}$ über H. Wobei wir auf diesem Übungszettel H definiert haben als: $\begin{eqnarray} H=\left\{ \begin{pmatrix} w & -z \\ \overline{z} & \overline{w} \end{pmatrix} \| z,w \in \mathbb C \right\} \end{eqnarray}$ Würde mich über einen Denkanstoß wirklich freuen. Ich weiß leider nicht wie ich das Beispiel angehen. soll.
10.03.2018, 09:40	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lösungen über den Hamiltonschen Quaternionen bestimmen Nimm dir ein generisches $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ , berechne $\begin{eqnarray} X^2 \end{eqnarray}$ und führe einen Koeffizientenvergleich durch.
11.03.2018, 22:51	LuciaSera	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich muss leider zugeben, dass ich nicht genau weiß, was du meinst.. An sich hätte ich gedacht, dass ich die Wurzel bilde und dann die Lösungen +1 und -1 habe, doch dieses “über H” irritiert mich einfach.
12.03.2018, 14:28	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lösungen über den Hamiltonschen Quaternionen bestimmen Du hast $\begin{eqnarray} X \in H=\left\{ \begin{pmatrix} w & -z \\ \overline{z} & \overline{w} \end{pmatrix} \| z,w \in \mathbb C \right\} \end{eqnarray}$ . D.h. es existieren $\begin{eqnarray} w, z \in \mathbb C \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} X= \begin{pmatrix} w & -z \\ \overline{z} & \overline{w} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Berechne das Matrixprodukt $\begin{eqnarray} X^2 = X \cdot X \end{eqnarray}$ und schaue nach für welche $\begin{eqnarray} w,z \end{eqnarray}$ die Gleichheit $\begin{eqnarray} X^2 = 1_H \end{eqnarray}$ erfüllt ist. Dabei ist $\begin{eqnarray} 1_H \in H \end{eqnarray}$ das neutrale Element bzgl. der Multiplikation, d.h. $\begin{eqnarray} 1_H = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Das sind 4 Gleichungen und 2 Variablen.
12.03.2018, 19:55	LuciaSera	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay dann habe ich doch richtig gedacht.. Allerdings komme ich nicht auf viel mehr, als auf das: $\begin{eqnarray} <br /> I: w^{2}-z\overline{z} = 1<br /> II: -wz-z\overline{w} = 0<br /> III: w\overline{z}+\overline{z}\overline{w} = 0<br /> IV: -z\overline{z}+\overline{w}^{2} = 1<br /> \end{eqnarray}$ Wenn ich das nun umforme, komme ich meiner Meinung nach nur auf $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ , wenn entweder $\begin{eqnarray} w=\overline{w}=\pm 1 \wedge z=\overline{z}=0 \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} w=\overline{w}=0 \wedge z=\overline{z}=\pm 1 \end{eqnarray}$ . Ist dann so wirklich richtig?
12.03.2018, 20:13	LuciaSera	Auf diesen Beitrag antworten »
Sry es wäre: $\begin{eqnarray} w=\overline{w} = \pm 1 \wedge (-z)=\overline{z}=0 \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} w=\overline{w}=0 \wedge (-z)=\overline{z}=\pm 1 \end{eqnarray}$ . Habe das "-" beim z vergessen.
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13.03.2018, 07:35	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist sehr irritierend. Du behandelst $\begin{eqnarray} w, \overline w \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} z, \overline z \end{eqnarray}$ als unterschiedliche Variableln. So ist $\begin{eqnarray} -z = \overline z= \pm 1 \end{eqnarray}$ einfach nicht möglich.
13.03.2018, 07:43	LuciaSera	Auf diesen Beitrag antworten »
Gut.. ich stehe offensichtlich ziemlich auf der Leitung. Ich habe auch schon probiert w und z mithilfe von $\begin{eqnarray} w=a+bi \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} z=c+di \end{eqnarray}$ umzuschreiben. Dann wären $\begin{eqnarray} \overline{w},\overline{z} \end{eqnarray}$ einfach nur die Komplex-Konjugierten. Mir fehlt anscheinend der Teil, dass ich nicht weiß, wie ich $\begin{eqnarray} \overline{w},\overline{z} \end{eqnarray}$ und w,z als identische Variablen betrachen soll.
13.03.2018, 07:51	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Nehmen wir mal II Dann $\begin{eqnarray} 0 = -wz - z \overline w = -z( w + \overline w) = -2z \mathrm{Re}(w) \end{eqnarray}$ . Also ist $\begin{eqnarray} z= 0 \end{eqnarray}$ oder der Realteil von $\begin{eqnarray} w \end{eqnarray}$ ist 0. (D.h. $\begin{eqnarray} w \end{eqnarray}$ ist reinimaginär). Damit kann man nun I und IV untersuchen.

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