Berechnung eines Integrals - Hauptsatz

10.03.2018, 10:44	Whateverwhatever	Auf diesen Beitrag antworten »
Berechnung eines Integrals - Hauptsatz Meine Frage: Hey, aus irgendwelchen Gründen finde ich nicht meinen Fehler beim Rechnen eines Integrals mithilfe des Hauptsatzes. Wäre nett wenn jemand mir auf meinen Fehler hinweist. Meine Ideen: 1) $\begin{eqnarray} \int_{-2}^{2} \! x(x-1) \, dx \end{eqnarray}$ Mein Lösungsweg: $\begin{eqnarray} \int_{-2}^{2} \! x(x-1) \, dx = \int_{-2}^{2} \! (x^{2}-x) \, dx = \left[\frac{1}{3}x^{3}-\frac{1}{2}x^{2} \right]_{-2}^{2} = F(2) - F(-2) = (\frac{1}{3}2^{3}-\frac{1}{2}2^{2})- (\frac{1}{3}-2^{3}-\frac{1}{2}-2^{2}) = (\frac{8}{3} -\frac{4}{2})-(\frac{-8}{3} +\frac{4}{2})= ( \frac{16}{6}-\frac{12}{6})-( \frac{-16}{6}+\frac{12}{6})= \frac{4}{6}+\frac{4}{6} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3} \end{eqnarray}$ Laut der Lösung aus dem Buch und dem GTR sollte eigentlich das Ergebnis raus kommen: $\begin{eqnarray} \frac{16}{3} \end{eqnarray}$ Wäre sehr dankbar wenn jemand auf meinen Hilfe hinweisen könnte. Mfg, LesserEvil.
10.03.2018, 10:59	Suh dude	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast bei -2 das Minus nicht mit quadriert. 6. Zwischenschritt ist falsch, er müsste wie folgt aussehen: $\begin{eqnarray} ...=\frac{1}{3} \cdot 8 - \frac{1}{2} \cdot 4 - ( -\frac{1}{3} \cdot 8 - \frac{1}{2} \cdot 4)=... \end{eqnarray}$
10.03.2018, 10:59	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} -\frac 12 (-2)^2\neq +\frac 42 \end{eqnarray}$
10.03.2018, 12:31	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Mit ein bißchen Nachdenken geht es bequemer: $\begin{align} \int_{-2}^2 x(x-1) ~ \dd x \ = \ \int_{-2}^2 \left( x^2 - x \right) ~ \dd x \ = \ \underbrace{\int_{-2}^2 x^2 ~ \dd x}_{\text{gerader Integrand}} \ - \ \underbrace{\int_{-2}^2 x ~ \dd x}_{\text{ungerader Integrand}} \ = 2 \int_0^2 x^2 ~ \dd x \end{align}$

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