Prädikatenlogik

10.03.2018, 16:58

Bizepsbenny

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Prädikatenlogik

Hallo, ich will folgenden Satz in Prädikatenlogik überführen, und wollte einmal fragen, ob ich mit der Lösung richtig liege:

Es gibt einen Ast, den ein Kollege absägt.

Lösung:

$\begin{eqnarray*} A(x) := x \end{eqnarray*}$ ist ein Ast

$\begin{eqnarray*} K(x) := x \end{eqnarray*}$ ist ein Kollege

$\begin{eqnarray*} S(x,y) := x \end{eqnarray*}$ sägt $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ ab

$\begin{eqnarray*} \exists x (A(x) \rightarrow \exists y (K(y) \land S(y,x))) \end{eqnarray*}$

Danke im voraus.

Gruß
BB

10.03.2018, 17:17

Kääsee

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Sieht gut aus! Freude

Freude

10.03.2018, 17:54

Elvis

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Warum nicht einfach so ? $\begin{eqnarray*} \exists x\exists y(A(x)\wedge K(y)\wedge S(y,x)) \end{eqnarray*}$

10.03.2018, 18:04

Bizepsbenny

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@ Kääsee

Ok vielen Dank! Wink

Wink

@Elvis

Muss ich mal checken , danke

10.03.2018, 22:53

Dopap

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Zitat:

Original von Elvis
Warum nicht einfach so ? $\begin{eqnarray*} \exists x\exists y(A(x)\wedge K(y)\wedge S(y,x)) \end{eqnarray*}$

mir gefiel die Implikation eigentlich auch nicht und war zum selben Ergebnis gekommen.
Wollte aber erst mal abwarten...

11.03.2018, 01:40

Bizepsbenny

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@Elvis

Kannst du mir mal deinen Lösungsweg zeigen eventuell?

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11.03.2018, 05:01

Dopap

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ich sehe den Satz:

Es gibt einen Ast und einen Kollegen mit: der Kollege sägt den Ast.

Eigentlich gibt es da nicht viel zu tun. A und K kann man doch in 2 Mengen packen:

$\begin{eqnarray*} \bigvee_{x \in \{\text{Äste}\}}\, \bigvee_{y \in \{\text{Kollegen}\}}S(y,x) \end{eqnarray*}$

so sieht das doch wesentlich übersichtlicher aus.

11.03.2018, 11:39

Elvis

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Mir gefällt die polnische Notation, die alle Quantoren an den Anfang prädikatenlogischer Aussagen stellt, weil damit zu Beginn des 20. Jahrhunderts eine prägnante Schreibweise entwickelt wurde, die leichter zu lesen ist als die schwerfällige Notation von Gottlob Freges "Begriffsschrift". Dopap's Vorschlag ist genau so gut, weil wir mit dieser eleganten Schreibweise noch kürzere Sätze schreiben und Georg Cantors Mengenlehre gebührend würdigen. Wir lernen aus der Geschichte der Mathematik, wie wichtig Kalkül und Notation für das Verständnis von Begriffen und die Entwicklung von Theorien ist.

11.03.2018, 14:40

Dopap

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meinst du mit polnischer Notation sowas:

$\begin{eqnarray*} ECpqApq \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} p \to q \leftrightarrow p \lor q \end{eqnarray*}$ ?

11.03.2018, 17:55

Bizepsbenny

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@Elvis

Du meinst, die Formeln in pränexe Normalform bringen?

11.03.2018, 18:26

Elvis

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Ich meinte wohl eher das Letztere. Den Schritt von der Begriffsschrift zur Präfixnotation habe ich im wesentlichen als historische Fußnote verstanden wissen wollen, nicht als Präferenz für eine bestimmte Notation, die längst durch modernere Schreibweisen zurecht verdrängt wurde.

11.03.2018, 19:10

Bizepsbenny

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@Elvis

Ok, wir hatten in der Vorlesung bisher nur Negationsnormalform, kunjunktive Normalform und pränexe Normalform.

@Dopap

Deine Erklärung mit den Mengen finde ich auch gut Freude

Freude

12.03.2018, 02:44

Pippen

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RE: Prädikatenlogik

Zitat:

Original von Bizepsbenny
Es gibt einen Ast, den ein Kollege absägt.

Lösung:

$\begin{eqnarray*} A(x) := x \end{eqnarray*}$ ist ein Ast

$\begin{eqnarray*} K(x) := x \end{eqnarray*}$ ist ein Kollege

$\begin{eqnarray*} S(x,y) := x \end{eqnarray*}$ sägt $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ ab

$\begin{eqnarray*} \exists x (A(x) \rightarrow \exists y (K(y) \land S(y,x))) \end{eqnarray*}$

Deine Formalisierung würde heißen: Wenn es einen Ast gibt, dann sägt ein Kollege den ab. Bei Existenzquantoren ist eine Implikation fast immer eine falsche Übersetzung, so wie bei Allquantoren sie fast immer richtig ist.

12.03.2018, 13:35

Bizepsbenny

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@Pippen

Ja, genauso hatte ich den Satz auch übersetzt.

Also einfach:

Es existiert ein x mit der Eigenschaft Ast zu sein und es existiert ein y mit der Eigenschaft Kollege zu sein und y sägt x ab

13.03.2018, 02:46

Pippen

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Nur noch mal zur Klarstellung: Deine Übersetzung von "Es gibt einen Ast, den ein Kollege absägt" ist falsch, weil deine Formel interpretiert wird als: "Wenn es einen Ast gibt, dann sägt ein Kollege den ab" und das bedeutet was anderes inkl. anderer Wahrheitswertverläufe. Elvis' Übersetzung weiter oben ist korrekt.

13.03.2018, 22:08

Bizepsbenny

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Jo das habe ich gecheckt. Ich hatte einen Folgefehler, weil ich den Satz genau so übersetzt hatte: „ Wenn es einen Ast gibt, dann sägt ein Kollege ihn ab“

27.03.2018, 12:25

Pippen

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Vielleicht hier noch im Anschluss ein fundamentales Problem der PL:

Jede PL braucht bereits a priori Mengen, um zu funktionieren bzw. um definiert werden zu können. Wir brauchen eine Definitionsmenge für die Dinge, die wir untersuchen wollen und wir brauchen Relationsmengen, sei es um zB Prädikate/Eigenschaften zu definieren, sei es, um zB alle Dinge, auf die Eigenschaften zutreffen (= "wahr"), zusammenzufassen. Entweder diese Mengen sind ZFC-Mengen. Dann wäre eine PL 1. Stufe gar nicht mehr möglich inkl. Gödel's Vollständigkeitssatz. Oder diese Mengen sind keine ZFC-Mengen, dann wäre die Frage, was diese "Mengen" konzeptionell wären und woher wir auch nur die Vermutung nehmen, dass diese Konstrukte nicht widersprüchlich sind. Wären es zB naive Mengen, dann wäre jede PL inhärent inkonsistent. Sind es Klassen, dann gäbe es keine Selbstbezüglichkeiten mehr, weil es per se keine Klasse geben kann, die sich selbst enthält, was PL beträchtlich einschränken würde.

Mir scheint, dieses Problem wird einfach übergangen, weil sich sonst die ganze Zirkularität bereits auf der Grundlagenebene der Logik zeigt. Oder irre ich mich?

28.03.2018, 08:24

Elvis

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Wieso ist eine PL1 nicht möglich, und was hat Gödel damit zu tun ?

30.03.2018, 10:51

Pippen

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Zitat:

Original von Elvis
Wieso ist eine PL1 nicht möglich, und was hat Gödel damit zu tun ?

Jeder PL1-Kalkül braucht mindestens eine Menge, um zu funktionieren, denn man braucht ja allein schon eine Grundmenge an Objekten, auf die man die Quantoren anwenden kann, oder nicht? Diese Menge kann keine ZFC-Menge sein, weil ZFC eine höherstufige PL voraussetzt und in PL1 kann man so eine ZFC-Menge nicht beschreiben, dafür reicht die Syntax nicht. Eine naive Mengenlehre wäre inkosnsistent und würde PL1 inkonsistent machen. Was also ist die "Menge", die ein PL1-Kalkül benutzt? Das scheint ein wenig nebulös zu bleiben oder ich verstehe mal wieder was nicht.

30.03.2018, 11:21

Elvis

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Zitat:

Original von Pippen
Das scheint ein wenig nebulös zu bleiben oder ich verstehe mal wieder was nicht.

Ja, das ist logisch wahr. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Wieso setzt ZFC eine höherstufige PL voraus ? Wiki weiß davon nichts (https://de.wikipedia.org/wiki/Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre) und ich auch nicht.

30.03.2018, 12:35

Pippen

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Zitat:

Original von Elvis
Wieso setzt ZFC eine höherstufige PL voraus ? Wiki weiß davon nichts (https://de.wikipedia.org/wiki/Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre) und ich auch nicht.

Hm...ich meine, mal sowas gehört zu haben...zumal sonst ZFC ja korrekt und vollständig wäre nach dem Vollständigkeitssatz von Gödel, was aber gerade immer verneint wird.

30.03.2018, 13:58

Elvis

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Mal was gehört zu haben genügt mir nicht, der Rest ist nur noch unverständlich. Wenn du dich mit Logik beschäftigen möchtest, musst du eine angemessene Herangehensweise finden.

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