Mult.Choice Dimension

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doki1994 Auf diesen Beitrag antworten »
Mult.Choice Dimension
Meine Frage:
Ich habe gar keine Ahnung wie Ich vorgehen soll.

Meine Ideen:
Hab es mit der Dimensionsformel versucht für UVR aber funktioniert nicht.
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

Dann versuche doch mal systematisch vorzugehen:

(1) Kann ein Unterraum eines 7-dimensionalen Vektorraums 8 Dimensionen haben?
(2) Was kann den maximal die Dimension des Schnitts sein? Hinweis: Was passiert falls auch ein Unterraum von ist?
(3) Welche Dimensionen des Schnitts könntest Du dir vorstellen wenn wir einfach mal an den Fall denken?
doki1994 Auf diesen Beitrag antworten »

zu 1) nein, dann wäre dim vom UVR größer als die vom VR.

zu 2) das minimum von den beiden dim ? bei W und U wäre es 4 ?

zu 3) 0,1,2,3,4,5,6

Kann man auch damit arbeiten :

dim(U+W)=dimU + dimW - dim(U geschnitten W)

dim(U geschnitten W)=dimU + dimW - dim(U+W)

?
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von doki1994
zu 1) nein, dann wäre dim vom UVR größer als die vom VR.


Ganz genau.

Zitat:
Original von doki1994
zu 2) das minimum von den beiden dim ? bei W und U wäre es 4 ?


Auch richtig.

Aus den vorherigen Überlegungen bleiben also die Möglichkeiten 0, 1, 2, 3.

Jetzt kommt die Frage nach der minimal möglichen Dimension. Die Dimension wird minimal, wenn der Schnitt "besonders klein" ist.
(4) Ist Dimension 0 möglich? Hinweis: 4+5=9.
(5) Ist Dimension 1 möglich? Hinweis: 3+5=4+4=8.
(6) Was ist mit den Dimensionen 2 und 3?
doki1994 Auf diesen Beitrag antworten »

zur 4)

nein, denn dann hätten wir einen leeren Schnitt von den UVR

zur 5)

nein, denn dimV=7 und die dim der UVR mit 8 wäre größer

zur6)

bei dim 2 funktioniert es auch nicht, weil die dim 7 wäre , aber es muss ja kleiner werden.Und bei 3 funktioniert es denn dann ist dim 6 somit kleiner als 7 und die Bedingung ist erfüllt.
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von doki1994
zur 4)

nein, denn dann hätten wir einen leeren Schnitt von den UVR


Ein Schnitt von Vektorräumen ist nicht leer, der Nullvektor ist immer darin enthalten. Aber Du meinst schon das Richtige, es wäre dann .

Zitat:
Original von doki1994
zur 5)

nein, denn dimV=7 und die dim der UVR mit 8 wäre größer


Ja, dann musst Du das nur noch mit der Dimensionsformel vernünftig begründen.

Zitat:
Original von doki1994
zur6)

bei dim 2 funktioniert es auch nicht, weil die dim 7 wäre , aber es muss ja kleiner werden.Und bei 3 funktioniert es denn dann ist dim 6 somit kleiner als 7 und die Bedingung ist erfüllt.


Nein, Du kannst Dir Beispiele überlegen wo die Dimensionen 2 und 3 möglich sind. Nimm Dir mal vor mit der Standardbasis . Nun konstruiere mal und als geeigneten Span dieser Vektoren.
 
 
doki1994 Auf diesen Beitrag antworten »

Meinst du etwa so :

da nach der Aufgabe dimU=5 , dimW=4, dimV=7 ist folgt. :

U=span(e1,e2,e3,e4,e5)
W=span(e1,e2,e6,e7)

Dann folgt dim(U geschnitten W) = 2

U=span(e1,e2,e3,e4,e5)
W=span(e1,e2,e3,e7)

Dann folgt dim(U geschnitten W) = 3

U=span(e1,e2,e3,e4,e5)
W=span(e1,e2,e3,e4)

Dann folgt dim(U geschnitten W) = 4
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

Ja genau.
doki1994 Auf diesen Beitrag antworten »

ok würde aber auch nicht das hier funktionieren :

U=span(e1,e2,e3,e4,e5)
W=span(e1,e5,e6,e7)

Dann folgt dim(U geschnitten W) = 1

Damit wären alle möglichen Dimensionen

1 , 2 , 3 , 4
doki1994 Auf diesen Beitrag antworten »

Vergiss das letzte

da ist dim(U geschnitten W)=2 smile

Hab es übersehen.

Also ist Lösung

2, 3, ,4
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