Vektorräume

11.03.2018, 18:12

Kathreena

Vektorräume

Welche Teilmengen des $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ ( $\begin{eqnarray*} n \geq 2 \end{eqnarray*}$ ) sind Untervektorräume von $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ .

a.) $\begin{eqnarray*} \left\{ {(x_1,.....,x_n) \in \mathbb R^n | x1 \geq 0}\right\} \end{eqnarray*}$

b.) $\begin{eqnarray*} \left\{ {(x_1,.....,x_n) \in \mathbb R^n | x^2_1 + ....+ x^2_n=0}\right\} \end{eqnarray*}$

Meine Idee:

a.)Weiß nich ob das so reicht.

$\begin{eqnarray*} M:= \left\{ {(x_1,.....,x_n) \in \mathbb R^n | x1 \geq 0}\right\} \end{eqnarray*}$

1.) Keine Leeremenge $\begin{eqnarray*} (0,0,0......,0) \in M \end{eqnarray*}$ , Da $\begin{eqnarray*} x_1 = 0 \geq 0 \end{eqnarray*}$

2.) Abgeschlossen bezüglich Addition:
$\begin{eqnarray*} x,y \in M \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_1+y_1 \geq 0 \end{eqnarray*}$ Nur wenn $\begin{eqnarray*} x_1 \geq -y_1 \end{eqnarray*}$

3.) Abgeschlossen bezüglich Multiplikation:
$\begin{eqnarray*} a \in K, x \in M \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a \cdot x_1 \geq 0 \end{eqnarray*}$ Nur wenn $\begin{eqnarray*} a \geq 0 \end{eqnarray*}$

Also ist M kein Untervektorraum von $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ .

Ich lass es mal so stehn, falls es falsch ist und ich dann nochmehr unsinn schreibe.

11.03.2018, 18:42

Elvis

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betrachte den Fall n=2, dann wird sehr schnell alles klar.

11.03.2018, 19:14

Kathreena

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So war mein Gedankengang auch, aber bei a.) ist ja nur $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ an eine Bedingung geknüpft.
Klarer wirds mir dadurch nicht^^.

bei b.) könnte es helfen.

da würde die Bedingung $\begin{eqnarray*} x^2_1+x^2_2 = 0 \end{eqnarray*}$ , implizieren das, $\begin{eqnarray*} x^2_1 = -x^2_2 = -x^2_1 \end{eqnarray*}$
Aber das funktioniert ja garnicht.

bei a.) seh ich das so nich auf einen Blick.

11.03.2018, 19:28

Elvis

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a) mit betrachten meine ich tatsächlich betrachten. Skizziere in einem cartesischen Koordinatensystem die Punktmenge. welche Punktmengen sind Untervektorräume des $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ ?
b) noch einfacher: $\begin{eqnarray*} x\in\mathbb R,x^2=0\Rightarrow x=0 \end{eqnarray*}$

11.03.2018, 20:13

Kathreena

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a.) alle positiven Zahlen + 0 ?

Ich weiß garnich wie ich das zeichnen sollte, ich versuchs mal.

11.03.2018, 22:14

Elvis

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Ja, ist das ein Vektorraum? Welche Dimension hat er?

11.03.2018, 23:16

Kathreena

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Ich hab 2 Vektoren, also 2. Dimension.

Ob das ein Vektorraum ist, ich will ja sagen, aber kanns nich richtig begründen.

Wenn ich die Summe der beiden Vektoren bilde, dann muss die Summe ja auch wieder in der Menge sein. Das stimmt schonmal.

$\begin{eqnarray*} x_1+x_2 \in M \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x_1 \geq 0 \end{eqnarray*}$

Bei der Multiplikation mit einem Skalar bin ich aber nich sicher.

Wenn ich einen Skalar wähle, $\begin{eqnarray*} a \in K \end{eqnarray*}$ , mit $\begin{eqnarray*} a = -1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_1 = 1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_2 = 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a \cdot (x_1,x_2)^T \end{eqnarray*}$

Dann käme ich ja auf einen Vektor $\begin{eqnarray*} (-1,-1)^T \end{eqnarray*}$ Und der ist nicht in der Menge zu finden.

Also ist es kein Vektorraum ?

12.03.2018, 09:07

klarsoweit

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Zitat:

Original von Kathreena
3.) Abgeschlossen bezüglich Multiplikation:
$\begin{eqnarray*} a \in K, x \in M \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a \cdot x_1 \geq 0 \end{eqnarray*}$ Nur wenn $\begin{eqnarray*} a \geq 0 \end{eqnarray*}$

Also ist M kein Untervektorraum von $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ .

Eigentlich war da schon alles gesagt. Daher verstehe ich nicht so recht das nachfolgende Rumgezackere.

Zitat:

Original von Kathreena
Ich hab 2 Vektoren, also 2. Dimension.

Die Dimension eines Vektorraums erkennst du an der Anzahl der Elemente einer Basis. Also müßtest du erst mal eine Basis haben, was hier aber (siehe oben) nicht gelingt.

12.03.2018, 09:43

Elvis

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@Kathreena
Ich hatte dich gefragt, welche Untervektorräume der $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ hat. Untervektorräume sind $\begin{eqnarray*} \{0\} \end{eqnarray*}$ , alle Geraden durch den Nullpunkt und der ganze $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ . Deshalb genügt es völlig, das Bild anzusehen. Ein Halbraum ist kein Raum.

14.03.2018, 15:08

Kathreena

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Danke, ich bin noch nich so richtig warm mit den Vektorräumen.

Nur nochmal zum Verständnis, $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ , als Bild dargestellt, wäre ja ein Quadrat, mit unendlich langer Seitenlänge. Unterverktorräume davon, müssten wieder Quadrate sein, wobei der Mittelpunkt ist aber immer an der Stelle (0,0). Oder eben die Geraden durch den Ursprung. Die Diagonale von $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ könnte man sagen.

Und $\begin{eqnarray*} \left\{ {(x_1,.....,x_n) \in \mathbb R^n | x^2_1 + ....+ x^2_n=0}\right\} \end{eqnarray*}$ für n =2,

wäre einfach nur ein Vektor (0,0). Der aber trotzdem ein Untervektorraum von $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ ist.

14.03.2018, 18:04

Elvis

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Zitat:

Original von Kathreena
$\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ , als Bild dargestellt, wäre ja ein Quadrat, mit unendlich langer Seitenlänge. Unterverktorräume davon, müssten wieder Quadrate sein, wobei der Mittelpunkt ist aber immer an der Stelle (0,0).

Völlig falsch. Der einzige 2-dimensionale UVR von $\begin{eqnarray*} (\mathbb R^2,+,\cdot_s) \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} (\mathbb R^2,+,\cdot_s) \end{eqnarray*}$ . Quadrate mit unendlich langer Seite gibt es nicht. Die Mitte einer unendlich langen Geraden gibt es nicht.

Zitat:

Original von Kathreena
Oder eben die Geraden durch den Ursprung. Die Diagonale von $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ könnte man sagen.

Falsch. Die Diagonale von $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} \{(x,x):x\in\mathbb R\} \end{eqnarray*}$ . Das wird mit den Operationen von $\begin{eqnarray*} (\mathbb R^2,+,\cdot_s) \end{eqnarray*}$ ein 1-dimensionaler UVR. Alle Geraden durch den Nullpunkt sind 1-dimensionale UVRe.

Zitat:

Original von Kathreena
Und $\begin{eqnarray*} \left\{ {(x_1,.....,x_n) \in \mathbb R^n | x^2_1 + ....+ x^2_n=0}\right\} \end{eqnarray*}$ für n =2,
wäre einfach nur ein Vektor (0,0). Der aber trotzdem ein Untervektorraum von $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ ist.

Fast richtig. $\begin{eqnarray*} (0,0)\in \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ ist ein Vektor, $\begin{eqnarray*} (\{(0,0)\},+,\cdot_s) \end{eqnarray*}$ ist ein Vektorraum, also ein UVR von $\begin{eqnarray*} (\mathbb R^2,+,\cdot_s) \end{eqnarray*}$ .

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