Separation Variablen

11.03.2018, 21:16

Cactus45

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Separation Variablen

Guten ABEND, habe Verständnisprobleme bei dieser Aufgabe:

mein Ansatz:

y' = y^2+1

dy/dx = y^2+1

dy/(y^2+1) = x*dx

arctan(y) = 1/2x^2+C

Wie kommen die in der Musterlösung auf die Grenzen von y0 -y und x-x0?

Und wie kommen die auf die tan Gleichung am Ende?

Bitte um Hilfe

12.03.2018, 13:33

Cactus21

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Kann mir das jemand erklären ?

12.03.2018, 13:41

Mulder

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Zitat:

Original von Cactus45
Wie kommen die in der Musterlösung auf die Grenzen von y0 -y und x-x0?

Sieh sie als Platzhalter an. Das hat nix mit "drauf kommen" zu tun, diese Grenzen sind ja nicht fest gewählt, sondern zunächst beliebig. $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y_0 \end{eqnarray*}$ werden später an die Anfangsbedingung $\begin{eqnarray*} y(x_0)=y_0 \end{eqnarray*}$ angepasst, in diesem Fall mit dem gegebenen $\begin{eqnarray*} y(0)=0. \end{eqnarray*}$ . Die Integralgrenzen kann man, wenn man will, auch weglassen, eine Integrationskonstante kommt auch bei einem unbestimmten Integral ja letztlich hinzu und auch diese kann man dann an das Anfangswertproblem anpassen. Ist Banane, wie man das macht.

Zitat:

Original von Cactus45
Und wie kommen die auf die tan Gleichung am Ende?

Wenn man in einer Gleichung, in der $\begin{eqnarray*} \arctan(y) \end{eqnarray*}$ vorkommt, nach $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ auflösen will, kommt man um den Tangens, der die Umkehrfunktion des Arkustangens darstellt (und umgekehrt), eben nicht drum rum. Wie würdest du das denn sonst nach $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ auflösen wollen? verwirrt

verwirrt

12.03.2018, 23:20

Cactus21

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Kannst du erklären wie die das y(x) auf der linken Seite hin bekommen ?

12.03.2018, 23:40

sibelius84

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Hi,

evtl ist mulder gerade nicht online, daher antworte ich mal:

Du hast ja in deiner Lösung auch schon

$\begin{eqnarray*} \arctan(y)=\frac 1 2 x^2+c \end{eqnarray*}$ .

Da tan und arctan Umkehrfunktionen voneinander sind (also y=tan(arctan(y))), erhältst du nach Anwendung des Tangens auf beiden Seiten

$\begin{eqnarray*} y=\tan\left( \frac 1 2 x^2+c \right) \end{eqnarray*}$ .

Die von der Lösung haben

$\begin{eqnarray*} y=\tan\left( \frac 1 2 x^2-\frac 1 2 x_0^2 + \arctan(y_0) \right) \end{eqnarray*}$ .

Das einzige, was die anders gemacht haben als du, ist also, dass die noch den Tangens gezogen und das c schon explizit in Abhängigkeit von den Startwerten geschrieben haben (bei dir sieht es eigentlich schöner aus).

LG
sibelius84

12.03.2018, 23:59

Cactus45

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Was meinen die da im unteren Teil mit dem pi/2 usw?

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13.03.2018, 00:06

sibelius84

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Naja, wenn du eine DGL hast und diese löst, dann willst du ja für deine Lösung auch einen vernünftigen Definitionsbereich haben. Der soll insbesondere zusammenhängend sein und nicht zerstückelt. Z.B. bei der DGL y'=-y/x ist ja c/x die Lösung. Damit ist das Existenzintervall entweder $\begin{eqnarray*} \mathbb R^+ \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \mathbb R^- \end{eqnarray*}$ , aber nicht beides. Im Zweifelsfall entscheidet der Anfangswert: Haben wir y(1)=2, so wird es wohl $\begin{eqnarray*} \mathbb R^+ \end{eqnarray*}$ werden.

Beim Tangens ist es so, dass tan(x)=sin(x)/cos(x) und der Cosinus immer bei ..., -3pi/2, -pi/2, pi/2, 3pi/2, 5pi/2, ... Nullstellen hat - der Tangens also dann Definitionslücken. Daher wäre der Tangens normalerweise erstmal auf (-pi/2, pi/2) definiert, ist hier auch so, weil 0 die Startstelle ist. Das heißt, der Inhalt, der da im Tangens drinne rumschwirrt, muss größer als -pi/2, und kleiner als pi/2 sein.

$\begin{eqnarray*} \frac{-\pi}{2}<\frac 1 2 \left(x^2-x_0^2 \right)+\arctan(y_0)<\frac\pi 2 \end{eqnarray*}$ ,

und dies formt man nach x um, um den Definitionsbereich herauszubekommen.

13.03.2018, 00:18

Cactus45

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b)

y`= -2y*cos(x)+cos(x)

Tipps wie ich diese DGL lösen kann ?

13.03.2018, 00:29

sibelius84

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Probiere mal, ob man y als konstante Zahl wählen kann.

13.03.2018, 00:31

Cactus45

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Was meinst du als konstante Zahl?

13.03.2018, 00:33

sibelius84

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$\begin{eqnarray*} y(x)=\alpha,\,\alpha\in\mathbb R \end{eqnarray*}$

13.03.2018, 00:36

Cactus45

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Für was soll ich das a einsetzen?

Ich hätte so gemacht ?
y`= -2y*(cos(x)+cos(x))

dy/dx-2y*(cos(x)+cos(x))

dy/2y = 2cos(x)dx

Geht das so?

13.03.2018, 18:12

Mulder

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Zitat:

Original von Cactus45
y`= -2y*(cos(x)+cos(x))

Da hast du jetzt eine Klammer hinzugedichtet, die auf deinem Aufgabenzettel oben nicht vorhanden war. Mit fatalen Folgen, denn dadurch verändert sich ja die ganze Gleichung.

Ferner ist dir später dann irgendwo das Minuszeichen verloren gegangen. Ich rate zu ein bisschen mehr Sorgfalt.

13.03.2018, 18:19

Cactus1

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y`= -2y*cos(x)+cos(x)

Wie löse ich die DGL?

13.03.2018, 18:21

Mulder

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Wie a). Durch Separation der Variablen.

13.03.2018, 18:25

Cactus45

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y`= -2y*cos(x)+cos(x)

y' = cosx*(1-2y)

dy/(1-2y) = cos(x) dx

ln(1-2y) = sin(x)+C

Richtig?

13.03.2018, 18:43

Mulder

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ln(1-2y) ist keine Stammfunktion von 1/(1-2y), wie du durch Ableiten leicht selbst feststellen kannst.

13.03.2018, 18:48

Cactus1

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y`= -2y*cos(x)+cos(x)

homogene Lösung

y' = -2ycos(x)

dy/2y = -cosx*dx

ln(2y) = -sinx+C

grenzen y bis y0 usw

ln(y/y0 ) = -sinx+C

y/y0 = e^{-sinx} *e^C

Wie geht es weiter?

13.03.2018, 19:01

Mulder

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Ich hab keine Ahnung, was das jetzt werden soll. Separation der Variablen war doch in Ordnung. Hätte ich sonst wohl nicht vorgeschlagen.

Zitat:

y`= -2y*cos(x)+cos(x)

y' = cosx*(1-2y)

dy/(1-2y) = cos(x) dx

ln(1-2y) = sin(x)+C

Dein einziger Fehler hier war eben, dass du das 1/(1-2y) nicht richtig integriert hast. Korrigier das, dann kannst du damit wohl weiter arbeiten.

PS: @sibelius84, wie genau war eigentlich dein Vorschlag gemeint? Natürlich kann man sehen, dass y=1/2 die DGL an sich löst. Es löst aber nicht das AWP mit y(0)=0. Diese eine Lösung der DGL nützt einem also doch nix, selbst wenn man sie auf Anhieb sieht? verwirrt

verwirrt

13.03.2018, 19:15

Cactus45

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Aber in meiner Musterlösung machen sie es so ,daher hatte ich meinen Fehler gesehen?

Habe auch gerade gemerkt ,dass ich das 1/2 vorher raus ziehen muss und dann integrieren? Big Laugh

Big Laugh

13.03.2018, 19:20

Mulder

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Naja, wenn du das mit Variation der Konstanten lösen willst, wie es - offenbar - in der Musterlösung gemacht wird, dann tu dir keinen Zwang an. Nur zu.

Ich sehe dazu nur irgendwie keine Veranlassung, weil sich die Variablen wunderbar trennen lassen. Man kann die Aufgabe also genau so lösen wie auch die a).

13.03.2018, 19:41

Cactus1

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Wie kommen die vom vorletzten auf den letzten Schritt?

Ich verstehe es nicht.

Um das ln aufzuheben muss e^nehmen aber ich komme nicht auf das Ergebnis?

13.03.2018, 19:52

Cactus1

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Ok habe es soweit gepeilt.

$\begin{eqnarray*} y(x)= e^{2sin(x0)}*e^{-2sin(x)} \end{eqnarray*}$
Wie leite ich diesen Term ab?

$\begin{eqnarray*} y'(x)= 2cos(x0)*(-2cos(x)*e^{2sin(x0)}*e^{-2sin(x)} \end{eqnarray*}$

So?

13.03.2018, 19:58

Mulder

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Ok also irgendwie fühle ich mich gerade so, als ob mir hier meine Zeit gestohlen wird. Erst wird gefragt, wie man die DGL lösen kann. Ich antworte darauf. Dann weise ich auf einen Fehler hin. Und plötzlich wird eine Musterlösung herangezogen, die du offenbar irgendwie nicht verstehst. Die hättest du auch gleich zeigen und nachfragen können, was daran unklar ist. Stattdessen kommt die jetzt häppchenweise nach und nach. Und auf das, was ich schreibe, wird eh nicht eingegangen.

Wenn du nicht auf das Ergebnis kommst, naja. Was soll ich dazu jetzt sagen? Da ich keine Informationen darüber kriege, wo genau es scheitert oder inwiefern deine Rechnungen von der aus der Lösung abweichen, kann ich dir nicht weiter helfen.

Vielleicht kann es ja jemand anderes. Ich für meinen Teil beende das hier jetzt und ziehe mich aus diesem Thread zurück.

13.03.2018, 20:01

Cactus1

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Für Variation der Konstanten muss ich ja auch die Ableitung einsetzen .

Passt meine Ableitung so oder sind da auch Fehler?

13.03.2018, 23:17

sibelius84

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Zur Ableitung:
Nein, nicht so. Das e^{2sin(x0)} am Anfang ist eine Konstante und wird beim Ableiten einfach mitgenommen. Du musst nur den Teil e^{-2sin(x)} ableiten. (Viel einfacheres Ergebnis also.)

edit:
Aber Moment, bei Variation der Konstanten variierst du doch die Konstante (wie der Name schon sagt). Das heißt, du hast den Ansatz $\begin{eqnarray*} y(x):=c(x)\cdot e^{-2\sin(x)} \end{eqnarray*}$ und musst den dann ableiten - mit der Produktregel, also wird das Ergebnis doch wieder etwas komplizierter, aber kriegt man hin.

13.03.2018, 23:21

Cactus1

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Wie kommst du auf den Ansatz?

Wieso nimmt man die e funktion nur mit dem -sinx ?

13.03.2018, 23:26

sibelius84

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Weil $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ eine Konstante ist und $\begin{eqnarray*} e^{2\sin(x_0)} \end{eqnarray*}$ damit auch, also $\begin{eqnarray*} e^{2\sin(x_0)}=c \end{eqnarray*}$ , und der Ansatz Variation der Konstanten heißt.

13.03.2018, 23:46

Cactus21

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y‘(x) =e^{-2sin(x)}*c‘(x)-2cosx*e^{-2sinx}*c(x)

Richtig ?

14.03.2018, 00:48

sibelius84

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Freude

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