Charakteristische Grundkurve

Neue Frage »

11.03.2018, 22:46	33hilflos	Auf diesen Beitrag antworten »
Charakteristische Grundkurve Kann mir jemand erklären wie ich am Anfang die charakteristische Grundkurve berechnen kann ? Ich verstehe es einfach nicht?
12.03.2018, 11:24	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann gib doch mal die Definition der Charakteristik an. Anschliessend setze die relevanten Terme ein. Das steht sicher in Deinen Vorlesungsunterlagen.
12.03.2018, 14:19	33hilflos	Auf diesen Beitrag antworten »
Kamst du mir erklären welche Formel ich da anwenden soll ? Bin total überlastet bei dieser Aufgabe
12.03.2018, 16:04	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, die Formel die in Deinen Vorlesungsunterlagen steht . Was Du letztlich haben willst ist eine Formulierung Deiner gesuchten Lösung $\begin{eqnarray} u \end{eqnarray}$ nicht mehr in Abhängigkeit von den gegebenen Koordinaten $\begin{eqnarray} (t,x) \end{eqnarray}$ sondern in Abhängigkeit neuer Koordinaten $\begin{eqnarray} (\tau,s) \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} t(\tau,s) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x(\tau,s) \end{eqnarray}$ zu bestimmende Funktionen sind. Jetzt leite mal den Ansatz $\begin{eqnarray} u(t(\tau,s),\,x(\tau,s)) \end{eqnarray}$ nach $\begin{eqnarray} \tau \end{eqnarray}$ ab. Nutze die Kettenregel. Dann vergleiche das mit Deiner Gleichung und fordere, dass $\begin{eqnarray} \frac{\partial t}{\partial \tau} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \frac{\partial x}{\partial\tau} \end{eqnarray}$ geeignete Gleichungen erfüllen, die etwas mit Deiner Gleichung zu tun haben.
13.03.2018, 18:05	33hilflos	Auf diesen Beitrag antworten »
Das steht bei uns im Skript als Merkregel : Ich versuche mal einen Ansatz: phi ' (t) = x Und weiter komme ich nicht ?
14.03.2018, 00:02	sibelius84	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, die DGL lautet ja umgeschrieben $\begin{eqnarray} \frac{du}{dt}+x\cdot\frac{du}{dx}=0 \end{eqnarray}$ . Symbolisches Rechnen - illegitim und daher nur vorläufig, bzw. mit anschließender Probe zulässig - liefert Folgendes: Wir dividieren ganz frech durch du und multiplizieren mit dx, dies liefert die sogenannte "Phasen-DGL" $\begin{eqnarray} x'(t)+x(t)=0 \end{eqnarray}$ , der man ihre Lösung sofort ansieht bzw. sie einfach berechnet. Die Kurven sind dann eben die $\begin{eqnarray} (\gamma_1,\gamma_2)=(x(t),t) \end{eqnarray}$ mit den x(t), die da herauskommen. edit: Zur Probe rechnet man leicht nach, dass, wenn man sie in eine Lösung u einsetzt, die Lösung u dann nicht konstant ist; man muss noch das Vorzeichen im Exponenten der e-Funktion herumdrehen, dann ist sie konstant. ("konstant entlang jeder Charakteristik"). Die beiden Komponenten würde ich dann noch in Gleichungsform überführen, durch geeignete Umformungen, und damit hat man dann eine gute Grundlage für eine Koordinatentransformation. LG sibelius84
Anzeige

14.03.2018, 00:33	33hilflos	Auf diesen Beitrag antworten »
Was muss ich denn genau weiter machen ?
14.03.2018, 00:45	sibelius84	Auf diesen Beitrag antworten »
Probier mal $\begin{eqnarray} U(\xi,\eta):=U(t-\ln(x),x)=u(x,t) \end{eqnarray}$ nach x und nach t abzuleiten (mehrdimensionale Kettenregel) und die Ergebnisse u_x bzw. u_t dann in die DGL einzusetzen. Was bekommst du dann heraus? Kannst du damit die DGL lösen? Der Weg dorthin ist der, den ich in meinem obigen Post beschrieben habe. Es wäre schon hilfreich, wenn du nicht nur nachfragst wie es weitergeht, sondern auch erläuterst, was du in der Zwischenzeit so für Versuche angestellt hast und an welcher Stelle es genau hakt, dann könnte man besser helfen.
14.03.2018, 23:08	hilflos33	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe mal den Term in der Aufgabe mit der Kettenregel abgeleitet . Weiter komme ich nicht? Bitte um Hilfe
15.03.2018, 13:23	33hilfe	Auf diesen Beitrag antworten »
Noch jemand da ?
15.03.2018, 21:03	sibelius84	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn das mit der mehrdimensionalen Kettenregel angewandt auf U(t - ln x, x) noch nicht so klappt, sollten wir vielleicht noch mal ein Stück vorher einsteigen: Du hast ja die DGL $\begin{eqnarray} 1\cdot u_t+x\cdot u_x=0 \end{eqnarray}$ . Um die charakteristischen Grundkurven zu berechnen, musst du zunächst mal das zugehörige DGL-System betrachten, das folgendermaßen aussieht: Das aus den Koeffizienten der DGL gebildete Vektorfeld ist $\begin{eqnarray} \vec f(t,x)=\begin{pmatrix} 1 \\ x \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Daraus wird das DGL-System $\begin{eqnarray} t'(\tau)=1,\quad x'(\tau)=x \end{eqnarray}$ gebildet, das du aber gar nicht lösen musst (selbst wenn es hier einfach wäre), sondern durch "Division" der zweiten durch die erste Gleichung umformen kannst zu $\begin{eqnarray} x'(t) = x/1 \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} x'(t)=x \end{eqnarray}$ . Hieraus kannst du leicht eine Gleichung der charakteristischen Grundkurve ermitteln.
15.03.2018, 21:39	33hilflos	Auf diesen Beitrag antworten »
x‘(t) = x x(t) = x*t +c So ?
16.03.2018, 00:05	sibelius84	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein. Die DGL ist x'=x. Vom Lernschema her: Dies ist eine lineare homogene DGL mit konstanten Koeffizienten, die man durch den Ansatz $\begin{eqnarray} x(t):=e^{\lambda t} \end{eqnarray}$ löst ( $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ ist gesucht). Elementar überlegt: Welche Funktion x hat sich selber als Ableitung?

Neue Frage »

Antworten »

Charakteristische Grundkurve

Verwandte Themen