e^{-|x|} integrieren von -\infty bis \infty

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12.03.2018, 17:12	lrk	Auf diesen Beitrag antworten »
e^{-\|x\|} integrieren von -\infty bis \infty Meine Frage: Wie integriere ich $\begin{eqnarray} e^{-\| x \| } \end{eqnarray}$ in den Grenzen $\begin{eqnarray} -\infty \end{eqnarray}$ bis $\begin{eqnarray} \infty \end{eqnarray}$ ? Habe leider bei der Integration mit Beträgen wenig Erfahrung, alles andere bekomme ich Integrationsmäßig schon hin in Analysis. Meine Ideen: Mein Ansatz ist (wie alle in Foren immer schreiben) das Integral aufzuteilen in $\begin{eqnarray} \int_{-\infty }^{0} \! e^{x} \, dx + \int_{0}^{\infty } \! e^{-x} \, dx \end{eqnarray}$ so weit so gut. Wenn ich jetzt integriere dann erhalte ich links $\begin{eqnarray} e^{x} \end{eqnarray}$ und auf der rechten Seite $\begin{eqnarray} -e^{-x} \end{eqnarray}$ . Dann habe ich die Stammfunktion mit den unterschiedlichen Grenzen. Doch wie komme ich von hier weiter? Oder funktioniert der Ansatz hier nicht? Bekomme die beiden integrierten Teile dann nicht zusammen. Der Integralrechner spuckt mir die Lösung $\begin{eqnarray} -\frac{xe^{-\|x\|}}{\|x\|} + C \end{eqnarray*}$ aus. Doch verstehe ich beim besten Willen nicht wie ich dahin komme mit der Zerlegung bzw auch nicht auf einem anderen Weg.
12.03.2018, 17:17	adiutor62	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: e^{-\|x\|} integrieren von -\infty bis \infty https://www.integralrechner.de/
12.03.2018, 17:19	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: e^{-\|x\|} integrieren von -\infty bis \infty Dein Ansatz klingt doch super. Du bekommst für den linken Teil eine Zahl raus, und für den rechten (die gleiche) Zahl raus. Du addierst beide zusammen, und bekommst die Lösung. Und ignorier den Integralrechner. Der hat dein Ergebnis nur kompliziert zu einem Ausdruck zusammengefasst.
12.03.2018, 17:34	lrk	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: e^{-\|x\|} integrieren von -\infty bis \infty Okey aber wie meinst du das mit einer Zahl rausbekommen? Da stehe ich jetzt ein bisschen auf dem Schlauch Ich habe ja dann die Teile der Stammfunktion raus also $\begin{eqnarray} [e^{x}] - [-e^{-x}] \end{eqnarray}$ . Das linke in den Grenzen $\begin{eqnarray} -\infty \end{eqnarray}$ bis 0 und das rechte in den Grenzen 0 bis $\begin{eqnarray} \infty \end{eqnarray}$ . Wie bekomme ich denn die unterschiedlichen Grenzen wieder zusammen, dass ich dann nur noch einen Ausdruck [......] + C da stehen habe?
12.03.2018, 17:45	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: e^{-\|x\|} integrieren von -\infty bis \infty Es ist $\begin{eqnarray} [ e^x]_{-\infty}^0 = e^0 - \lim_{M \to -\infty} e^{M} = 1 \end{eqnarray}$ . Nach dem Auswerten ist es also einfach nur eine Zahl. Das $\begin{eqnarray} +C \end{eqnarray}$ hat bei angegebenen Grenzen auch nichts mehr verloren.
12.03.2018, 18:00	lrk	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: e^{-\|x\|} integrieren von -\infty bis \infty Okey, so habe ich das noch gar nicht gesehen irgendwo als Lösung. Also ich verstehe die Grundidee von dem was du aufgeschrieben hast aber wie wäre das denn dann für den rechten Teil? also für $\begin{eqnarray} [-e^{-x}] \end{eqnarray}$ mit den Grenzen 0 und $\begin{eqnarray} +\infty \end{eqnarray}$ .
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12.03.2018, 18:03	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: e^{-\|x\|} integrieren von -\infty bis \infty Das habe ich ja extra dir gelassen. Du setzt die Grenzen ein. Das einzige worauf du aufpassen musst ist, dass man "unendlich" nicht einsetzen kann/darf/sollte. Den Term muss man gegen den entsprechenden Limes ersetzen.
12.03.2018, 18:18	lrk	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: e^{-\|x\|} integrieren von -\infty bis \infty Okey, ich versuchs mal.. Also würde ich dann: $\begin{eqnarray} \left[-e^{-x}\right]_{0}^{\infty } = (\lim_{M \to \infty } -e^{-M}) - e^{-0} = 0 - 1 = -1 \end{eqnarray}$ erhalten? Und zusammengesetzt dann: $\begin{eqnarray} (e^{0} - \lim_{M \to \infty} e^{M} ) + ((\lim_{M \to \infty } -e^{-M}) - e^{-0}) \end{eqnarray}$ Also 1 + (-1)? Dann wäre das Ergebnis ja 0?
12.03.2018, 18:21	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: e^{-\|x\|} integrieren von -\infty bis \infty Fast. Richtig ist $\begin{eqnarray} \left[-e^{-x}\right]_{0}^{\infty } = (\lim_{M \to \infty } -e^{-M}) - \left ( -e^{-0}\right) \end{eqnarray}$ . Wie schon gesagt, kommt bei beiden die gleiche Zahl heraus
12.03.2018, 18:25	lrk	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: e^{-\|x\|} integrieren von -\infty bis \infty Ach super! Ja stimmt hab das Minus für Obere - Untere Grenze vergessen. Also bekomme ich 2 als Ergebnis? Und nur noch zum Verständnis wieso sagt mit der Integralrechner dass das Integral divergent ist? D.h. doch eigentlich es gibt keine Lösung? Wie kommt man darauf und wie ist das zu verstehen?
12.03.2018, 19:49	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich würde nicht formal nach einer Stammfunktion im gesamten Integrationsbereich suchen, sondern die Geradheit des Integranden $\begin{align} f(x) = \operatorname{e}^{-\|x\|} \end{align}$ verwenden: $\begin{align} f(-x) = f(x) \, , \ \ x \in \mathbb{R} \end{align}$ Damit folgt, da offensichtlich Konvergenz vorliegt, sofort: $\begin{align} \int_{- \infty}^{\infty} \operatorname{e}^{-\|x\|} ~ \dd x \ = \ 2 \int_0^{\infty} \operatorname{e}^{-\|x\|} ~ \dd x \ = \ 2 \int_0^{\infty} \operatorname{e}^{-x} ~ \dd x \end{align}$

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