Produkt alternierend

12.03.2018, 18:19	da12niel	Auf diesen Beitrag antworten »
Produkt alternierend Ein Produkt $\begin{eqnarray} [., .]: K^n \times K^n \rightarrow K \end{eqnarray}$ ist alternierend wenn gilt $\begin{eqnarray} \forall v, w \in K^n: [v, w] + [w, v]=0 \end{eqnarray}$ Ich denke das ist falsch, kann man das im F_2 Körper zeigen: [v, w]+[w, v] = 0 für alle v die ungleich w sind aber [v, v] = [w, w] = 1? Und damit ist das Produkt nicht alternierend?
12.03.2018, 20:24	sibelius84	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi da12niel, de-fi-nier die Welt, widde-widde-wie sie mir gefällt Also ich kenne das so: Ein Produkt heißt alternierend, wenn es immer dann 0 ausspuckt, wenn man zwei gleiche Vektoren in es einsetzt. Ein Produkt heißt schiefsymmetrisch, wenn stets [v,w]=-[w,v] gilt. Sei [.,.] alternierend. Dann gilt insbesondere [v+w,v+w]=0, also [v,v]+[v,w]+[w,v]+[w,w]=0. Aber huch! Das Ding ist ja alternierend und damit verschwinden plötzlich auch [v,v] und [w,w], sodass insgesamt folgt [v,w]=-[w,v], womit gezeigt ist, dass es auch schiefsymmetrisch ist - und zwar über Körpern beliebiger Charakteristik. Die Umkehrung gilt nicht, dein Beispiel zieht. Eine Äquivalenz gilt damit tatsächlich nur für char K ungleich 2. LG sibelius84

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