Kleinstes Vielfaches unbekannter Zahlen

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cmd.dea Auf diesen Beitrag antworten »
Kleinstes Vielfaches unbekannter Zahlen
Meine Frage:
Wir können die Schulaufabe unseres Sohnes nicht lösen:

Ein Fahrrad hat ein kleines und ein großes Zahnrad (mit Pedal).


Gibt es 2 Zahnräder (mit wieviel Zähnen), die erst nach 300 Pedalumdrehungen wieder die gleiche Stellung haben?

Meine Ideen:
Mit der Primfaktorenzerlegung sind wir nicht weiter gekommen

Wir wissen nur, dass die Anzahl der Zähne des größeren Zahnrades x 300 ein Vielfaches der Anzahl der Zähne des kleineren Rades ist. Mit ggt oder kgV hat das aber nichts zu tun. Wie kann man das berechnen? Wir sind für jede Hilfe dankbar.
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

sagen wir mal, wir haben zwei Zahnräder mit x bzw. y Zähnen. Dann ist klar, dass man spätestens (!) nach x·y Umdrehungen wieder in der Ausgangslage sein wird. Man kann nun die Frage stellen, wie die Zahlen x und y zu wählen sind, damit man mit weniger als x·y nicht auskommt. Ein paar Beispiele betrachten und etwas herumprobieren hilft:

-> Bei 2 und 3 Zähnen braucht es volle 6 Umdrehungen.
-> Bei 2 und 4 Zähnen braucht es nur 4 Umdrehungen (weit entfernt von 2·4=8).
-> Bei 2 und 5 Zähnen braucht es wieder volle 10 Umdrehungen.
-> Bei 3 und 5 braucht es volle 15, bei 3 und 6 braucht es nur 6 (wieder weit entfernt von 3·6=18).

Beobachtung: (minimale) Anzahl nötiger Umdrehungen = kgV(x,y).

Ihr steht also vor dem Problem, zwei Zahlen x, y so zu bestimmen, dass kgV(x,y)=300 wird. Da werden sich welche finden lassen. Entweder durch etwas Herumraten, oder eure Idee der Primfaktorzerlegung war auch gut; man könnte versuchen als x einen Teiler von 300 zu wählen, als y dann den komplementären Teiler (sodass x·y=300) und dies so zu machen, dass bei der Bildung des kgV 'nichts verlorengeht'.

LG
sibelius84
cmd.dea Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank schon einmal für die Hilfe.

Wir werden versuchen, darüber weiter zu kommen.

Dea
sixty-four Auf diesen Beitrag antworten »

Ich würde mal so sagen: Wenn das große Rad N Zahne und das kleine n Zähne hat, dann dreht sich bei einer Umdrehung des großen Rades das kleine mal. Die Zahl hat einen ganzen und einen gebrochenen Anteil. Der gebrochene Anteil muss mit 300 multipliziert eine ganze Zahl ergeben. Es ist also: , wobei k und x ganz sind. Nun kannst du das mit n multiplizieren und hast:

. Da links eine ganze Zahl steht, muss auch rechts eine ganze Zahl stehen. Wenn du x=1 oder x=2 wählst, bekommst du einen unendlichen Dezimalbruch, also x=3. Dann muss n=100 sein N=101.
Ich weiß nicht, ob es solche Zahnräder gibt, wahrscheinlich nicht.

Jetzt kannst du x=6 nehmen, dann wird : n=50 und für k=1 N=51
Wenn du k=2 wählst, bist du bei N=99 oder N=101.

Wenn du x=12 nimmst, wird n=25 () und N=26 bzw. N=51 oder N=49.

Wenn du x=15 nimmst, bekommst du auch noch eine Lösung.
cmd.dea Auf diesen Beitrag antworten »

Also zunächst ganz vielen lieben Dank für die Antwort und die Mühe.

Auf Anhieb durchblicke ich das noch nicht ganz, aber ich werde es mir schon erarbeiten.

Vielen Dank!

Dea

PS: Da unser Sohn in der 5. Klasse ist, sind wir schon etwas erstaunt über die Komplexität smile
sixty-four Auf diesen Beitrag antworten »

Du kannst dir überlegen, dass bei einer Umdrehung des großen Rades das kleine eine bestimmte Anzahl von vollen Umdrehungen k macht und einer vollen Umdrehung weniger oder mehr als eine volle Umdrehung. Diese Anteile summieren sich bei 300 Umdrehungen zu einer ganzen Anzahl x von vollen Umdrehungen. Das drückt die Formel aus.
Beispiel: N=27 und n=10. Dann macht das kleine Rad bei einer Umdrehung des großen 2,7 Umdrehungen. Man müsste hier also mindestens 10 Umdrehungen des großen Rades haben um beim kleinen auf eine volle Anzahl zu kommen.

Übrigens: für x=20 bekommst du auch noch passable Lösungen.
 
 
cmd.dea Auf diesen Beitrag antworten »

Das verstehe ich.

Gibt es außer Ausprobieren die Möglichkeit, die 2 Zahlen finden, bei denen erstmals bei 300 Umdrehungen von N ein Gleichstand erreicht wird?
sixty-four Auf diesen Beitrag antworten »

Es sind alle Lösungen möglich, wo eine ganze Zahl ist.
Du kannst also natürlich auch x=5 und n=60 nehmen. Das Produkt von n und x muss also 300 oder ein Vielfaches sein. Theoretisch kannst du also die Primfaktoren von nehmen und daraus alle Kombinationen bilden:

n=2 und x= 150
n=3 und x=100
n=4 und x=75
n=5 und x=60
n=6 und x=50
n=12 und x=25
n=15 und x=20
u.s.w.

Jetzt kannst du die aussortieren, die so wenig Zähne haben, dass man sie schlecht als Zahnrad verwenden kann (also etwa bis n=12, bei n=15 bin ich mir nicht sicher). Ebenso kannst du die aussortieren, die so viele Zähne haben, dass das Zahnrad nicht vom Fahrrad, sondern eher von einer E-Lok stammen könnte (Vielleicht ab n=50)

Im Grunde läuft es also darauf hinaus, dass aus den Primfaktoren von 300 zwei disjunkte Teilmengen ausgewählt werden. Dann hast du die Anzahl der Zähne beim kleinen Rad und die vom großen kannst du daraus ableiten.
cmd.dea Auf diesen Beitrag antworten »

Leider löst das unser Problem nicht.

Wir müssen wissen, wie große die Zahnräder sein müssen, so dass der Gleichstand erstmals erreicht ist, nachdem sich das große Rad 300 Mal gedreht hat.

Wenn man 12 und 25 nimmt, dann ist der kgV zwar 300, der erste Gleichstand ist aber schon erreicht, nachdem sich das große Rad 12 Mal gedreht hat.

Wir brauchen aber nun ein großes Zahnrad, dass sich erst 300 Mal dreht, um mit dem kleinen Zahnrad erstmals wieder Gleichstand zu erreichen.

Vielen Dank für die Hilfe.

Dea
cmd.dea Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt haben wir nach der obigen Formel doch eine die Lösung gefunden. Wir haben es zwar umgerechnet, aber das lag wohl daran, dass wir sie nicht richtig angewendet haben.

N ist 301 und n ist 300.

Der kgV von beiden ist 90300 und dieser geteilt durch das größere Rad (301) ist 300.

Das große Zahnrad dreht sich also 300 Mal bis beide wieder Gleichstand haben. Das sind dann halt keine tauglichen Fahrradzahnräder, aber danach war ja nicht explizit gefragt.

Für kleinere Zahnräder kann das eigentlich garnicht funktionieren. Das nächste wäre dann wohl erst wieder die Kombination 600 und 602.

Das sollte als Antwort reichen. Vielen Dank für die Hilfe.

Dea
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Ach so, jetzt weiß ich auch, warum das da mit dem Pedal stand. Engel

Gut ist es immer, sich Beispiele aus der Luft zu greifen und einfach mal zu schauen, ob die es bringen und wenn nein, warum nicht.

Beispiel: x=600, y=35.

Für die Einzeldrehungen rechnen wir kgV(600,35)=4200. Es hat sich dann das große Rad 4200/600=7-mal, und das kleine Rad 4200/35=120-mal gedreht.

Also Anzahl Drehungen des großen Rades = kgV(x,y)/x.

Da soll 300 herauskommen, also 300=kgV(x,y)/x, bzw. nach Multiplikation mit x: 300x=kgV(x,y). Das bedeutet, zB y=300 und x=301. Dann dreht sich das große Rad 300-mal (und das kleine 301-mal), und dann ist wieder alles auf Anfang.

Stark, dass ihr eurem Sohn so helft und das um diese Uhrzeit! Falls das 6. Klasse ist, hatte er das mit den Variablen und so wahrscheinlich alles noch nicht, und es war eher gemeint, die Lösung durch (möglichst logisches) Herumprobieren herauszufinden?
cmd.dea Auf diesen Beitrag antworten »

Auch Dir vielen Dank! Jetzt macht das alles Sinn.

Es ist sogar nur 5. Klasse. Man sollte es wahrscheinlich wirklich nur mit Ausprobieren herauskriegen, aber weil sie bislang diese Fragen schon systematisch angegangen sind, wollte er halt wisse, wie es funktioniert. Eben haben wir es ihm erklärt und jetzt brennt er schon auf den Matheunterricht.

Naja, und uns hats dann halt auch interessiert.

Gruß
Dea
sixty-four Auf diesen Beitrag antworten »

Bei Fahrrädern gibt es vermutlich kein kleines Zahnrad mit 300 Zähnen.
Die richtige Antwort auf die in der Aufgabe gestellte Frage müsste dann wohl lauten: Es gibt keine solchen Zahnräder.
Die theoretische Lösung ist natürlich trotzdem richtig. Schön, dass ihr es rausbekommen habt.
cmd.dea Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von sixty-fourSchön, dass ihr es rausbekommen habt.


Hätten wir aber ohne Hilfe hier nicht geschafft smile
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