Äußere Normale bestimmen

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ThomThom Auf diesen Beitrag antworten »
Äußere Normale bestimmen
Meine Frage:
Guten Tag,
Für den Satz von Gauss habe ich folgende Definitionen:
Körper
Der Boden des Körpers ist bei , so dass
und radius .
Nun habe ich ja:

mit als die äußere Normale.

Meine Ideen:
In der Musterlösung wird nun nur betrachtet und gesagt: Die z-Komponente von ist . Weiterhin wissen, dass eine Scheibe ist. Also .

Wie kommt man auf die äußere Normale? Dies wird mir hier nicht ersichtlich. Wie kann ich bei anderen Formen später in der Klausur die äußere Normale finden, wenn so eine ähnliche Klausur drankommt?

Danke im Voraus

-ThomThom
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

du musst dir die geometrischen Objekte anschaulich vorstellen und dann, wie wohl eine äußere Normale aus ihnen heraus zeigen würde. In einfachen Beispielen hast du damit bereits die Normale. Z.B. das von dir genannte, oder auch etwa die Einheitskugel; da ist die äußere Normale in einem Punkt praktischerweise identisch mit dem Ortsvektor dieses Punktes.

Schwieriger wird es, wenn du zB einen Ellipsoid hast. Dann musst du rechnen! Sagen wir mal, du hast 4x²+9y²+z²=36. Dann das Viech erstmal geeignet parametrisieren, hier natürlich mit elliptischen Koordinaten: x=3sin(u)cos(v), y=2sin(u)sin(v), z=6cos(u). Diesen dreidimensionalen Vektor einmal nach u, einmal nach v ableiten und von den Ergebnissen das Kreuzprodukt bilden. Dann hast du einen Normalenvektor und eine 50:50 Chance, dass es der äußere Normalenvektor ist. Dafür musst du dir eben wieder vorstellen, wie der aussieht und wo der hinzeigt, etwa durch Einsetzen von Testpunkten. (Im Punkt (0,0,z) mit z>0 - konkret anhand der Gleichung: (0,0,6) - der Ellipse muss der Normalenvektor von der selben Form (0,0,z') mit z'>0 sein. Wenn (0,0,-z') herauskommt, musst du eben alle seine Komponenten vorzeichenmäßig herumdrehen.

LG
sibelius84
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