Transformieren einer Differentialgleichung

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13.03.2018, 12:44

jacky23

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Transformieren einer Differentialgleichung

Nächste Aufgabe.

Hat jemand tipps wie ich bei der a) vorgehen soll?

13.03.2018, 12:51

klarsoweit

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RE: Transformieren einer Differentialgleichung
Wenn du keinen blassen Schimmer von der Theorie hast (weil du auch nicht die entsprechende Vorlesung besuchst), kann das ein größeres Gartenfest geben. Ich weiß ja nicht, was du studierst und was dein Ziel ist, aber Mathe ist vermutlich nicht dein Lieblingsthema.

Nun denn. Als erstes würde ich erst mal u = y' substituieren.

13.03.2018, 15:34

jacky23

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Würde das so gehen ?

u_1 = y

u_1' = y' = u_2

u_2 = y'

u_2' = y''

u_3 = y''

u_3' = y''' = 2e^x +u_2

Würde der Ansatz so gehen ?

13.03.2018, 15:49

klarsoweit

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Nun ja, die Gleichungen für das System 1. Ordnung solltest du auch explizit benennen:

u_1' = u_2
u_2' = u_3
u_3' = u_2 + 2e^x

Das kannst du noch mit einer geeigneten Matrix A in folgende Gleichung umformen:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} u_1' \\ u_2' \\ u_3' \end{pmatrix} = A \cdot \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 2e^x \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

13.03.2018, 16:01

jacky23

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Verdammt kannst du mir paar tipps geben wie ich die Matrix A erstellen kann ?
Irgendwie bekomme ich es nicht hin

EDIT: Komplettzitat entfernt (klarsoweit)

13.03.2018, 19:39

klarsoweit

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Was ist denn da so schwierig? Dann schreibe eben:

u_1' = 0*u_1 + 1*u_2 + 0*u_3
u_2' = 0*u_1 + 0*u_2 + 1*u_3
u_3' = 0*u_1 + 1*u_2 + 0*u_3 + 2e^x

Jetzt kannst du die Koeffizienten ablesen. smile

13.03.2018, 19:59

jacky23

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$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} u_1' \\ u_2' \\ u_3' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 2e^{x} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 2e^x \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

wie geht es weiter?

13.03.2018, 20:02

PWM

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Hallo,

führe die von Dir angegebene Matrizenmultiplikation aus, vergleiche mit dem vorhergehenden Post und korrigiere Deine Matrix.

Gruß pwm

13.03.2018, 20:04

jacky23

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[quote]Original von jacky23
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} u_1' \\ u_2' \\ u_3' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 2e^x \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Jetzt müsste es passen .Danke

Hast du tipps wie ich genau weiter vorgehen muss?

14.03.2018, 10:11

jack23

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Noch jemand da ? Big Laugh

14.03.2018, 10:27

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Was sagt denn die Theorie? Steht da irgendwas von Eigenwerten der Matrix bestimmen?

14.03.2018, 11:51

jacky23

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Ansatz soweit alles richtig ?
Bevor ich falsch weiter rechne ? Big Laugh

14.03.2018, 12:35

klarsoweit

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Ich sage mal vorsichtig ja. Allerdings kann man auf dem Bild nur schlecht etwas erkennen. Welche Eigenwerte hast du denn raus?

14.03.2018, 13:16

jack23

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2 mal 1 und 0?

14.03.2018, 13:26

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Wir sind uns einig, daß die Gleichung $\begin{eqnarray*} \lambda^2 - 1 =0 \end{eqnarray*}$ nicht die doppelte Nullstelle 1, sondern die Nullstellen 1 und -1 hat?

14.03.2018, 13:50

jack23

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Ah ja stimmt .

Eigenwert 1

Habe LGs :

-x2=x3

Vektor t (0,-1,1)

Passt es ?

14.03.2018, 13:58

klarsoweit

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Nein, wie man auch leicht nachrechnet, indem du mal deinen Eigenvektor mit der Matrix multiplizierst. smile

14.03.2018, 14:01

jack23

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Verdammt wo liegt mein Fehler .

Ich hatte doch in dem Bild die Matrix mit Gauß vereinfacht .

Ist das LGS falsch ?

14.03.2018, 14:05

klarsoweit

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Wahrscheinlich. Du hast ja nur eine Gleichung geschrieben.

14.03.2018, 14:18

jack23

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-x2=x3

-x1+x2 =0

Das sind die LGS

Wie geht es weiter ?

14.03.2018, 14:34

klarsoweit

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Zitat:

Original von jack23
-x2=x3

Hm. Ich hätte da eher -x2 + x3 = 0 im Angebot. Gemäß Gauß-Algorithmus ist (in diesem Fall) x3 eine frei wählbare Variable. Setze x3=1 und der Rest ergibt sich.

14.03.2018, 14:51

jack23

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-x2+x3=0

x3=t

x2 =-t

-x1+x2 =0

-x1-t=0

x1 =-t

t*(-1,-1,0)

Richtig ?

14.03.2018, 15:08

klarsoweit

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Zitat:

Original von jack23
-x2+x3=0

x3=t

x2 =-t

Da hast du dich schon für x2 vertan. Außerdem hast du am Ende das x3 in deiner Lösung unterschlagen.

14.03.2018, 15:28

jacky23

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-x2+x3=0

x3=t

x2 =t

-x1+x2 =0

-x1+t = 0

x1 =t

besser ?

14.03.2018, 15:55

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Damit kann ich mich anfreunden. smile

14.03.2018, 17:55

jacky23

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Eigenwert -1:

Matrix

$\begin{eqnarray*} A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

2- 3 Zeile :

$\begin{eqnarray*} A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Gleiches Spiel :

x3 = g

x2 +g = 0

x2 = -g

x1-g = 0

x1 = g

g*(1,-1)

Ich habe ja jetzt beide EIgenvektoren .

Der andere ist ja t*(1,1)

Wie geht es nun weiter ?

14.03.2018, 22:15

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Du hast 3 Variablen, also bestehen die Eigenvektoren aus 3 Komponenten.

14.03.2018, 22:28

jack23

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Der dritte Vektor ist doch komplett 0 oder nicht ?

15.03.2018, 07:37

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Erstens: nein. Der Nullvektor löst immer ein homogenes GLS. Als Eigenvektor brauchen wir aber nicht-triviale Lösungen.

Zweitens: jeder Eigenvektor besteht hier aus 3 Komponenten. Schließlich hat deine Matrix auch 3 Spalten. Und außerdem hast du ja auch mit den Variablen x1, x2 und x3 gerechnet. Deren Lösungen mußt du jeweils in einen Vektor mit 3 Komponenten zusammensetzen.

15.03.2018, 09:00

jack23

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g*(1,-1,0)

t*(1,1,0)

Gut jetzt müsste es passen .

Wie geht es weiter ?

15.03.2018, 09:53

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Nein, das paßt nicht. Schau dir mal an, was du jeweils für die Variable x3 genommen hast. Das war nicht die Null. Außerdem brauchst du noch einen nicht-trivialen Eigenvektor für den Eigenwert Null.

15.03.2018, 10:52

jacky23

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v1 = (1,-1,g)

v2 = (1,1,t)

v3 = (0,0,0)

Jetzt ok?

15.03.2018, 11:04

klarsoweit

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Zitat:

Original von jacky23
v1 = (1,-1,g)

v2 = (1,1,t)

Die Schreibweise ist erst mal falsch. Da müßte beispielsweise auch (1, -1, 2) ein Eigenvektor sein, was ja offensichtlich nicht stimmt. Aber bevor wir da noch 10 Runden drehen, schreiben wir das mal so:

Eigenraum_1: $\begin{eqnarray*} E_1 := \{v \in \mathbb R^3 ~|~ v = g \cdot (1, -1, 1), g \in \mathbb R \} \end{eqnarray*}$

Eigenraum_2: $\begin{eqnarray*} E_2 := \{v \in \mathbb R^3 ~|~ v = t \cdot (1, 1, 1), t \in \mathbb R \} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von jacky23
v3 = (0,0,0)

Da frage ich mich, ob du meine Beiträge wirklich komplett liest. Das scheint nicht der Fall zu sein. Nochmal klar und deutlich: wir brauchen eine nicht-triviale Lösung.

15.03.2018, 11:24

jacky23

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Wie bekommt man diese nicht triviale Lösung ? smile

Bin doch nicht gerade der fitteste bei der Aufgabe Big Laugh

Sonst wären wir doch nicht seit fast 3 Tagen bei der Aufgabe Big Laugh

15.03.2018, 11:51

klarsoweit

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Im Prinzip ist das der Kern der Matrix $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ . Das geht - wie in den anderen Fällen auch - mit dem Gauß-Algorithmus.

Und was das Fit-Sein angeht: es gibt in der Mathematik gewisse Dinge, die mußt du beherrschen. Von einem Autofahrer, der nach dem Weg fragt, erwarte ich, daß er die Begriffe rechts und links kennt. Sonst wird es schwierig. geschockt