Varianz der Entfernungen zwischen statistisch gleichverteilten Zahlen auf einem Intervall

13.03.2018, 13:07

lowjoe

Varianz der Entfernungen zwischen statistisch gleichverteilten Zahlen auf einem Intervall

Meine Frage:
Ich interessiere mich für die Varianz der Abstände einer Menge von reelen Zahlen die auf dem Intervall [a,b] zufällig gleichverteit vorliegen.

Also geht nicht um nicht die Varianz der Zahlen selber sondern ihrer Abstände zueinander.

Meine Ideen:
Betrachte ich eine Zahl die in eine Lücke gesetzt wird die dem doppelten Erwartungswert 2* (b-a)/(n+1) enspricht ließe sich die Varianz als (2*(b-a)/(n+1))^2/12 ausdrücken.
(Varianz von zufällig verteilten Zahlen auf [a,b] ist (b-a)^2/12 )

Allerdings habe ich Zweifel ob ich die zu erwartende Lücke als Subintervall annehmen darf.

13.03.2018, 14:48

Huggy

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RE: Varianz der Entfernungen zwischen statistisch gleichverteilten Zahlen auf einem Intervall
Mit etwas Stochastikkenntnissen lässt sich das leicht ausrechnen. Es sei $\begin{eqnarray*} c=b-a \end{eqnarray*}$ . Es seien $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ reelle und unabhängige Zufallsgrößen, die auf dem Intervall $\begin{eqnarray*} [a,b] \end{eqnarray*}$ gleichverteilt sind. Es sei $\begin{eqnarray*} Z=|Y-X| \end{eqnarray*}$ der Abstand zwischen den beiden Zufallsgrößen. Dann ergibt sich für die Varianz von $\begin{eqnarray*} Z \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} V(Z)=\frac {c^2}{18} \end{eqnarray*}$

13.03.2018, 17:47

lowjoe

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RE: Varianz der Entfernungen zwischen statistisch gleichverteilten Zahlen auf einem Intervall
Vielen Dank für die schnelle Antwort.

Allerdings suche ich die Varianz für eine Menge von n Zahlen auf dem Intervall.
Deine Lösung scheint mir ein Sonderfall für zwei Zahlen zu sein.

Angenommen ich platziere n Zahlen auf dem Intervall [ 0,1 ], dann ist der mittlere Abstand D = (b-a) / (n+1) = 1 / (n+1)

Wie groß ist jedoch die zu erwartende Abweichung von D bzw. die Varianz wenn es sich um n unabhängige Zufallsgrößen handelt ?

13.03.2018, 18:39

Huggy

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RE: Varianz der Entfernungen zwischen statistisch gleichverteilten Zahlen auf einem Intervall

Zitat:

Original von lowjoe
Allerdings suche ich die Varianz für eine Menge von n Zahlen auf dem Intervall.
Deine Lösung scheint mir ein Sonderfall für zwei Zahlen zu sein.

Richtig. Da hatte ich deine Frage nicht sorgfältig gelesen. Bei $\begin{eqnarray*} n>2 \end{eqnarray*}$ Punkten könnte das haarig werden. Man müsste Arbeit hineinstecken. So ad hoc fällt mir keine analytische Lösung ein.

13.03.2018, 18:47

HAL 9000

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Ich habe hier bereits ein Begriffproblem:

Die Varianz einer Zufallszahl ist klar. Was aber soll die Varianz einer Menge von $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Zufallszahlen (bzw. deren Abständen zueinander) überhaupt sein??? verwirrt

13.03.2018, 20:45

lowjoe

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Ich meine damit die zu erwartende Varianz der Abstände

V = (1/n) * Sum((D-di)^2)
mit dem mittleren Abstand D = (1/(n+1)) * Sum(di)
mit di Abstand_i i = 1..n

für den normierten Ausdruck
V* = (1/n) * Sum( ( (D-di) / D )^2 )

vermute ich das der Wert 1 ist, was sich am PC empirisch ermitteln lässt.
Allerdings fehlt mir leider das mathemathische Geschick das auch zu beweisen.

Ich hatte vermutet das es nicht ganz leicht ist aber vielleicht jemand die Lösung kennt weil die Fragestellung wie ich meine nicht ganz exotisch ist.

Ich erwarte aber nicht das sich jemand für mich hinsetzt und das Problem löst Augenzwinkern

Vielen Dank Euch schonmal

14.03.2018, 07:50

Huggy

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Es ist plausibel, dass die Verteilungen der Abstände von benachbarten Punkten für alle benachbarten Punkte und für den Abstand von $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ zu dem kleinsten Punkt und für den Abstand des größten Punktes zu $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ alle identisch sind. Man könnte dann die Frage so interpretieren, dass die Varianz dieser Verteilung gesucht ist. Mit $\begin{eqnarray*} Z_n \end{eqnarray*}$ als der zugehörigen Zufallsgröße bei der Verteilung von $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Punkten in dem Intervall komme ich auf

$\begin{eqnarray*} V(Z_n)=\frac {n}{(n+1)^2(n+2)}c^2 \end{eqnarray*}$

15.03.2018, 09:35

lowjoe

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Hallo Huggy, was ist c^2 in Deiner Formel?

15.03.2018, 09:45

Huggy

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Siehe meine erste Antwort:

$\begin{eqnarray*} c=b-a \end{eqnarray*}$

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