Normalenvektor einer Ebene

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DuVektor Auf diesen Beitrag antworten »
Normalenvektor einer Ebene
Meine Frage:
Hallo,

Ich wollte Fragen ob meine Rechnungen richtig sind, da ich sehr verwirrt bin.

Gegeben habe ich die Ebene E:

Dabei sollte ich den Normalenvektor von E bestimmen.

Meine Ideen:
Hierbei habe ich dann einfach (laut Internet) die Zahlen vor dem X1, X2 und X3 genommen und bin auf gekommen, jedoch fehlt mir jegliche Erklärung wie man genau darauf kommt.

Anschließend habe ich, um die Ebene E in Normalenform darzustellen, ausgerechnet.

Dann habe ich den Stützvektor in die Normalenform E: eingesetzt, also in p und den Normalenvektor in n, und dass muss ja 0 ergeben, daher habe ich dann ausmultipliziert und den Stützvektor in x1, x2 und x3 eingesetzt, was dann so aussieht: E:2x(5,5)-(-1) x (0) + 1 x (0) - 11 - 0 - 0 = 0

... es tut mir leid für diesen wirrwarr aber ich tue mich echt schwer mit der Mathemathik und ich habe echt Probleme mit dem Formeleditor hier... ich hoffe mir kann hier jemand weiterhelfen.

Liebe Grüsse

edit: habe das doch eigentlich hinbekommen mit dem formeleditor, aber jetzt isses hier zu ungenau :/
DuVektor Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Analytische Geometrie
















Suh dude Auf diesen Beitrag antworten »

Guten Abend,

Ich muss ehrlich sagen, dass ich absolut nicht verstehe, was du mit deiner Rechung bezwecken willst bzw. was jetzt genau deine Frage ist.

Wie du ja selber weisst, kann man eine Ebene sowohl in Parameter-, als auch in Koordinaten- und Normalenform darstellen. Von der Parameterform kommst du mittels Bestimmung des Normalenvektors der beiden Richtungsvektoren und dem Skalarprodukt zwischen dem Normalenvektor und dem Ortsvektor auf die Koordinatenform. Das sieht dann allgemein so aus:

Allgemeine Parameterform einer Ebene:



Mittels Kreuzprodukt der Richtungsvektoren wird nun die Koordinatenform bestimmt:





Um d zu ermitteln berechnest du das Skalarprodukt des Ortsvektors der Ebene und des bestimmen Normalenvektors:



Beantwortet das die Frage?!

Beste Grüße
Suh dude
DuVektor Auf diesen Beitrag antworten »

Zuerst dankesehr für die Antwort

Meine Frage war ja ob meine Rechnung richtig ist ( was sie ja wie erwartet nicht ist ^^).

Und die andere eigentlich, wie ich aus der gegebenen Ebene, also , den Normalenvektor bestimme und auch die Ebene E in Normalenform darstelle :S...
DuVektor Auf diesen Beitrag antworten »

Und ich habe es in meinem Fall mit den sogenannten Spurpunkten versucht
Suh dude Auf diesen Beitrag antworten »

Aus meiner Rechnung müsste eigentlich klar geworden sein, wie du diesen mit der Koordinatenform bestimmst - naja, du musst ihn einfach ablesen. Schau dir meine allgemeine Darstellung der Koordinatenform mal genau an, dann siehst du, inwiefern du den Normalenvektor ablesen kannst.

Du kennst nun den Normalenvektor deiner Ebene, durch die Koordinatenform schnell ablesbar. Den Ortsvektor bestimmst du ganz leicht mit Hilfe der Koordinatenform: Gesucht ist nämlich der Vektor, dessen Skalarprodukt mit dem Normalenvektor d (also hier 11) ergibt (siehe Rechnung von Parameterform in Koordinatenform). Dann Orts- sowie Normalenvektor in die allgemeine Normalenform einfügen. Du hast diese bereits in deinem 1./2. Post erwähnt.

Wenn du irgendwo hängen bleibst, dann schreib bitte genau was du nicht verstehst und wo genau man mit dem Erklären anfangen soll, dann kann dir besser geholfen werden.

Beste Grüße
Suh dude
 
 
javlenii Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Meine Frage war ja ob meine Rechnung richtig ist ( was sie ja wie erwartet nicht ist ^^).

Und die andere eigentlich, wie ich aus der gegebenen Ebene, also , den Normalenvektor bestimme und auch die Ebene E in Normalenform darstelle


@Suh dude:
Es kann sein, dass ohne Kreuzprodukt gerechnet werden soll. Denn in einigen Lehrplänen kommt das Kreuzprodukt erst viel später dran oder es kommt gar nicht vor.

Vielleicht soll der Normalenvektor von E hier aus den Richtungsvektoren (bzw.: Spannvektoren der Ebene) berechnet werden, ohne das Kreuzprodukt der Richtungs-/Spannvektoren zu bilden. Dazu kann man zwei Bedingungsgleichungen für den Normalenvektor aufstellen, die sich daraus ergeben. dass er orthogonal zu jedem der Spannvektoren der Ebene sein muss:
Die aus den beiden Spurgeraden durch den Spurpunkt S1 von DuVektor richtig bestimmten Spannvektoren (ich bezeichne die mal in unsauberer Schreibweise als und ) sind dabei ähnlich maßgeblich wie in dem Lösungsvorschlag von sibelius84 vom 12. März im Thread "Gerade unter bestimmten Bedingungen ermitteln", matheboard.de/thread.php?threadid=584692#post2126396 (dort gab es eine Gleichung mit 2 Unbekannten, hier gibt es zwei Gleichungen mit insgesamt drei Unbekannten, eben den Komponenten des gesuchten Normalenvektors) und führen zu einem Vektor, der zum gesuchten Normalenvektor parallel (genauer: kollinear) ist.
Suh dude Auf diesen Beitrag antworten »

Im Ausgangspost von DuVektor steht, dass er eine Ebene in Koordinatenform gegeben hat und mittels dieser den Normalenvektor bestimmen soll (was in diesem Fall nur ablesen wäre).

Oder hab ich da was falsch verstanden?
javlenii Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Suh dude
Im Ausgangspost von DuVektor steht, dass er eine Ebene in Koordinatenform gegeben hat und mittels dieser den Normalenvektor bestimmen soll (was in diesem Fall nur ablesen wäre).

Oder hab ich da was falsch verstanden?

Schon okay, was du da gezeigt hast und ich sehe nichts was du was falsch verstanden hast. Aber DuVektor hat ja beim Ablesen
Zitat:
die Zahlen vor dem X1, X2 und X3 genommen und bin auf gekommen, jedoch fehlt mir jegliche Erklärung wie man genau darauf kommt


Es gibt (mindestens) drei Methoden, hier einen gesuchten Normalenvektor zu finden:
1.) Ablesen (dafür fehlt DuVektor die Erklärung des Zusammenhangs, siehe quote)
2.) Kreuzprodukt (kann benutzt werden, wenns im Lehrstoff dran war)
3.) Orthogonalitätsbedingung mit den Richtungsvektoren zweier Geraden (Spurgeraden), die die Ebene aufspannen
(ist hier die umständlichste der drei Methoden)

Und laut Aussage von 21:27 Uhr ist DuVektor offenbar mit Spurpunkten vertraut.
Daraus lassen sicht leicht Spannvektoren der Ebene hernehmen, wenn man die Richtungsvektoren zweier Spurgeraden bestimmt, wie DuVektor sie um 17:28 Uhr als S2-S1 und S3-S1 berechnet hat.
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