Summe aller natürlichen Zahlen kleiner als unendlich

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mathestudent97 Auf diesen Beitrag antworten »
Summe aller natürlichen Zahlen kleiner als unendlich
Meine Frage:
Es sei (x)+ = x, wenn x > 0, 0, wenn x = 0, 0 sonst.

Für und

gilt



Meine Ideen:
An sich eigentlich ganz logisch, finde ich. Sofern eine feste Zahl als Limes existiert, die logischerweise kleiner als unendlich ist, muss die unendliche Summe doch auch kleiner als unendlich sein. Nur wie beweise ich so etwas? Kann mir jemand vielleicht einen kleinen Denkstupser geben?
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

betrachte Dann konvergiert die erste Reihe, aber nicht die zweite. (Die Folge ist so definiert, dass sich die Benutzung der Definition von (x)+ erübrigt.)

...oder verstehe ich da noch was falsch an der Aufgabe? verwirrt

LG
sibelius84
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Die Behauptung ergibt für mich nicht den geringsten Sinn. Kann es sein, dass stattdessen das Produkt gemeint ist? verwirrt
mathestudent97 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja genau, das sollte auch eigentlich gemeint sein.
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Evtl. hilft

? Könnte man dann nicht benutzen, dass für ? (Wie es in den Büchern immer so schön heißt: in einem noch geeignet zu präzisierenden Sinne Augenzwinkern )
mathestudent97 Auf diesen Beitrag antworten »

Du meinst Limes statt Ln, oder?
 
 
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, er meint wirklich den Logarithmus.


Betrachten wir zunächst mal den einfachen Fall, dass alle sind. Dann kann man basierend auf dem für alle gültigem folgern

,

d.h. ist nach oben beschränkt und außerdem monoton wachsend, daraus folgt die Konvergenz für .



Gilt nicht für alle , so wird's ein wenig komplizierter: Abschätzung



und die daraus folgende Beschränktheit nach oben gilt zwar immer noch, aber ist nicht notwendig monoton, daher muss man sich noch was einfallen lassen. Augenzwinkern
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