Lineares Gleichungssystem

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14.03.2018, 17:17	Thomas7	Auf diesen Beitrag antworten »
Lineares Gleichungssystem Hallo zusammen Ich habe folgende Matrizen berechnet: $\begin{eqnarray} B = \begin{pmatrix} -1 & 1 & 0 & 0 & ... & 0 \\ 0 & -1 & 1 & 0 & ... & 0 \\ ... \\ 1 & 0 & 0 & ... & 0 & -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ (N x N-Matrix) $\begin{eqnarray} C = diag(N, N, ..., N) \end{eqnarray}$ Vektor $\begin{eqnarray} b = (u, 0, ..., 0)^T \end{eqnarray}$ Nun meine Frage: Wie schaut die Lösung $\begin{eqnarray} (x_1, ..., x_N) \end{eqnarray}$ des Gleichungssystems $\begin{eqnarray} B^T \times C \times B \times x = B^T \times C \times b \end{eqnarray}$ aus? Besten Dank für jede Hilfe!
14.03.2018, 18:17	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Berechne $\begin{eqnarray} B^TC \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} B^TCB \end{eqnarray}$ , dann kannst du das LGS in Matrizenform leicht hinschreiben, daraus links und rechts einen Vektor berechnen, und die Lösungsmenge ablesen. (Manchmal braucht man nicht erst eine große Theorie um eine einfache Rechnung zu machen. Ein konkretes Beispiel wie dieses kann man nur stumpf ausrechnen.)
14.03.2018, 21:10	Thomas7	Auf diesen Beitrag antworten »
Also was mir ehrlich gesagt etwas Mühe macht ist das N. Wäre es Dir evtl. möglich, für ein konkretes N ein Beispiel zu geben? Ich habe das Ganze mal für N = 4 und N = 5 durchgespielt, leider habe ich da für $\begin{eqnarray} B^T C B \end{eqnarray}$ beispielsweise keine Gesetzmässigkeit gefunden... :/
14.03.2018, 21:53	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Das glaube ich nicht, ist doch ganz einfach. Zeig mir, was du gerechnet hast.
14.03.2018, 23:08	Thomas7	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, für N = 5 habe ich beispielsweise: $\begin{eqnarray} B^T C = \begin{pmatrix} -5 & 0 & 0 & 0 & 5 \\ 5 & -5 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & -5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 5 & -5 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -5 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ (ok, die ist noch ganz ok) $\begin{eqnarray} B^T C B = \begin{pmatrix} 10 & -5 & 0 & 0 & -5 \\ -5 & 10 & -5 & 0 & 0 \\ 0 & -5 & 10 & -5 & 0 \\ 0 & 0 & -5 & 10 & -5 \\ -5 & 0 & 0 & -5 & 10 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ (ok, da ist es doch schon komplexer...)
14.03.2018, 23:10	Thomas7	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie kann man die Matrix bei B^T C B schön für den allgemeinen Fall N schreiben?
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15.03.2018, 08:27	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} B^TC \end{eqnarray}$ ist schon falsch, deswegen wird es bei dir zu kompliziert. Ich komme auf $\begin{eqnarray} B^TC=-C,B^TCB=C \end{eqnarray}$ , und dann ist alles ganz einfach.
15.03.2018, 12:07	Thomas7	Auf diesen Beitrag antworten »
Ahhhhh ja klar, dann besteht der Vektor x natürlich nur aus " -1 ". Besten Dank für die Korrektur! ...klar konnte ich so keine Gesetzmässigkeit finden :/ Noch eine Frage: Wenn $\begin{eqnarray} N \to \infty \end{eqnarray}$ , dann bleibt der Lösungsvektor x trotzdem konstant -1, oder?
15.03.2018, 18:33	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Lösungsmenge des LGS enthält tatsächlich genau einen Vektor. Dieser Vektor ist keine Zahl sondern ein Vektor, und $\begin{eqnarray} x=-1 \end{eqnarray}$ ist ganz falsch. Wenn du ihn richtig berechnet hast für beliebiges $\begin{eqnarray} N \in \mathbb N \end{eqnarray}$ , dann kennst du die Lösungsmengen für alle $\begin{eqnarray} N \in \mathbb N \end{eqnarray}$ . Was in diesem Zusammenhang $\begin{eqnarray} N\to\infty \end{eqnarray}$ bedeuten und bezwecken soll erschließt sich mir nicht.
16.03.2018, 10:32	Thomas7	Auf diesen Beitrag antworten »
* Ich korrigiere: Der Lösungsvektor x wird dann $\begin{eqnarray} x = (-u, 0, ..., 0)^T \end{eqnarray}$ sein.
16.03.2018, 11:20	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Das stimmt genau. Und: weil die Matrizen und die Vektoren für $\begin{eqnarray} N\in \mathbb N \end{eqnarray}$ definiert sind, ist die Aufgabe damit vollständig und richtig gelöst.
16.03.2018, 13:20	Thomas7	Auf diesen Beitrag antworten »
Besten Dank für die Hilfe und die Korrekturen!

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