Extremwerte einer trigonometrischen Funktion

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Every Auf diesen Beitrag antworten »
Extremwerte einer trigonometrischen Funktion
Meine Frage:
Hallo liebe Community.
Ich verzweifle seit einer Weile an dieser Aufgabe:
Zeigen Sie, dass die Funktion f (f(x)=sin(3x)-sin(x)) ihre höchsten Werte (Maxima) an den Stellen x=(3pi/2)+2pi*z mit z E Z erreicht.



Meine Ideen:
Ich dachte erst, es habe was damit zu tun, dass die Sinusfunktion ihre relative Maxima bei (pi/2)+ k * 2pi hat. Allerdings komme ich einfach nicht auf die gewünschte Lösung. Egal was ich mit wem multipliziere und kürze.

Kann mir jemand vielleicht einfach nur den Ansatz geben?
Ich möchte KEINEN kompletten Lösungsweg, nur den Ansatz, wie man hier rangehen muss.
Vielen Dank im Voraus.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Trigonometrische Funktionen
Nutze . smile
Every Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Trigonometrische Funktionen
DANKE !!!
(jetzt hab ich den Fehler dank dir eeeeendlich gefunden)
Kääsee Auf diesen Beitrag antworten »

Huhu, da mich die Aufgabe auch interessiert und Every ja wohl die Lösung gefunden hat, wollte ich fragen, ob ich mit meinen Überlegungen richtig liege:
Nach klarsoweits Tipp hätten wir nach Umformen

und somit und


Für die Extremwerte muss ja nun f'(x)=0 sein und dann überprüft man noch, ob f''(x)<0 oder f''(x)>0, um herauszufinden, ob es ein Maximum oder Minimum ist.
Jedoch bekomme ich dann für die Maxima noch eine weitere Stelle.
Meint Every eventuell nur, dass die erwähnten Maxima die HÖCHSTENS Maxima sind (edit: also globales Maximum)? Der andere Wert ist bei mir nicht so hoch.
Weiterhin erhalte ich zwei entsprechende Minima.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Kääsee
Jedoch bekomme ich dann für die Maxima noch eine weitere Stelle.

Leider konnte ich heute meine Glaskugel nicht booten. Bitte verrate uns, was du gerechnet hast. smile
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Es geht übrigens auch folgende unkonventionelle (und zugegebenermaßen auf andere Fälle schlecht verallgemeinerbare) Lösung:

Wegen sowie gilt auf jeden Fall . Gelingt es Stellen zu finden, so dass zugleich und gilt, so sind das die globalen Maximumstellen mit jeweils Funktionswert . Und das ist offenbar möglich, denn alle Stellen mit (das sind ) erfüllen automatisch .
 
 
Every Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Käse,
laut Aufgabenstellung wird das globale (also höchste) Maxima gesucht. (bzw. soll gezeigt werden, dass die Funktion an der vorgeschriebenen Stelle dort ihr Maxima hat)

So hab ich es zumindest verstanden. Habe es dann wie du gemacht, erste Ableitung 0, zweite Ableitung zur Überprüfung, ob Min oder Max.
Kääsee Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von klarsoweit
Zitat:
Original von Kääsee
Jedoch bekomme ich dann für die Maxima noch eine weitere Stelle.

Leider konnte ich heute meine Glaskugel nicht booten. Bitte verrate uns, was du gerechnet hast. smile

Das mache ich sehr gerne, sobald im am PC bin! Per Handy ist es immer doof mit dem Formeleditor.
Kääsee Auf diesen Beitrag antworten »

Sooo, also ich habe wie gesagt erst mal die erste Ableitung =0 gesetzt.
Ich hoffe, die Ableitungen, so wie ich sie oben geschrieben habe, stimmen erst mal.



Im ersten Fall also cos(x)=0. So kommt man auf die besagten Maxima, denn cos(x)=0 für .
Für gerade z hat man , d.h. f''>0, also Minimum. Umgekehrt für ungerades z. So gelangt man dann auf die gewünschten Werte (also für z ungerade bedeutet ja gerade mit z gerade oder .

So, nun kann es aber im zweiten Fall auch noch sein, dass die Gleichung
erfüllt ist, wenn und wir dadurch dividieren können, also:

,.

Als nächstes habe ich dann noch eine Fallunterscheidung gemacht, zuerst für jeweils für gerade und ungerade z und das gleiche dann nochmal für . Dies kann ich auch noch ausführen, falls es jemand sehen möchte.
Man gelangt noch auf weitere Hoch- und Tiefpunkte, deren Betrag allerdings kleiner als der der zuvor berechneten Werte (2) ist.

Bin ich da falsch?
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Die Gleichung ist falsch, das musst du nochmals überprüfen. stimmt!
Vielmehr ist

mY+

Gerechnet habe ich es etwas anders (ich bin immer für den kurzen Weg!), nämlich zuerst abgeleitet und dann (bei der Ableitung) die Formel



verwendet.





mY+: Editiert, Fehler gestrichen.
Kääsee Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, Ich überprüfe es später nochmal.
Trotzdem kommt man ja dann noch auf weitere Extrema, nicht?
Kääsee Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von mYthos






Wie kommst du denn darauf?
Wenn ich deine Formel einsetze, bekomme ich:








Und damit gelange ich ja in dem Fall, dass die hintere Klammer =0 werden soll, wieder auf mein Ergebnis.

edit: oder schon gleich bei dem Schritt
, dass der Klammerterm 0 wird, wenn , also wenn
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Kääsee
Zitat:
Original von mYthos






Wie kommst du denn darauf?
...


Ja, leider habe ich dabei den Summanden hinten vergessen, sodass ich nur gelöst habe (das wäre übrigens leichter gegangen).

Also hast du recht, deine Rechnung stimmt! Entschuldige bitte den Irrtum (ich werde entsprechend editieren/streichen).
So sieht es nun aus, hier siehst du die Maxima, natürlich auch deine.

[attach]46758[/attach]

Bei den relativen Maxima musst du alle nehmen, natürlich kann man auch nur die globalen betrachten, das sind die mit dem größten Funktionswert.
Jedenfalls ist ein Intervall dafür anzugegeben.

mY+
Kääsee Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, super! Dann danke ich euch allen für das "gemeinsame Lösen" der Aufgabe Augenzwinkern
Falls jemand noch meine Fallunterscheidung usw. zu den anderen Extrema sehen möchte, möge er Bescheid geben.
Ansonsten noch einen schönen Abend und schönes Wochenende!
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