Summen unabhängiger Zufallsvariablen

15.03.2018, 11:10

Dan Trietsch

Summen unabhängiger Zufallsvariablen

Hallo,

folgende Aufgabe:

$\begin{eqnarray*} X_1,\dots,X_n \end{eqnarray*}$ sind voneinander unabhängige Zufallsvariablen mit bekannten Summenfunktionen $\begin{eqnarray*} F_{X_i}(x_i) \end{eqnarray*}$ und Dichtefunktionen $\begin{eqnarray*} f_{X_i}(x_i) \end{eqnarray*}$ . Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit

$\begin{eqnarray*} \gamma = P(X_1<c \wedge X_1+X_2<c \wedge \cdots \wedge X_1+X_2+ \cdots +X_n<c) \end{eqnarray*}$

(Tatsächlich ist eigentlich ein $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ gesucht, für welches sich eine geforderte Wahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ ergibt. Da ich denke dass dies schwieriger zu finden ist, versuche ist erstmal $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ für ein gegebenes $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ zu berechnen.)

Für die Transformation fasse ich die $\begin{eqnarray*} X_i \end{eqnarray*}$ zum Vektor

$\begin{eqnarray*} \mathbf{X} = (X_1, X_2, ..., X_n)^T \end{eqnarray*}$

zusammen. Die gemeinsame Dichtefunktion bezeichne ich mit

$\begin{eqnarray*} f_\mathbf{X}(x_1,...,x_n) = \prod\limits_{i=1}^{n} f_{X_i}(x_i) \end{eqnarray*}$

Mit

$\begin{eqnarray*} \mathbf{A} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & & \cdots & 0 \\ 1 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & & & & \vdots \\ 1 & \cdots & & 1 & 0\\ 1 & \cdots & & & 1 \end {pmatrix} \end{eqnarray*}$

sind die Summen der $\begin{eqnarray*} X_i \end{eqnarray*}$ dann in

$\begin{eqnarray*} \mathbf{Z}=\mathbf{A X} \end{eqnarray*}$

abgebildet. Mit

$\begin{eqnarray*} \mathbf{A}^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & & & \cdots & 0 \\ -1 & 1 & 0 & & \cdots & 0 \\ \vdots & & & & & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & \cdots & & 0 & -1 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und $\begin{eqnarray*} \det{\mathbf{A}}=1 \end{eqnarray*}$ kann ich die Dichtefunktion von $\begin{eqnarray*} \mathbf{Z} \end{eqnarray*}$
hinschreiben,

$\begin{eqnarray*} f_{\mathbf{Z}}(z_1,...,z_n) = f_{\mathbf{X}}(\mathbf{A}^{-1} \mathbf{z}) \end{eqnarray*}$

Mein Problem ist nun die praktischen Berechnung von

$\begin{eqnarray*} \gamma = \int_{z_1=-\infty}^{c} \int_{z_2=-\infty}^{c} \cdots \int_{z_n=-\infty}^{c} \! f_{\mathbf{Z}}(z_1,z_2,\ldots,z_n) \, dz_1 dz_2 \cdots dz_n \end{eqnarray*}$

weil es mir schwerfällt das Mehrfachintegral bei größerem $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ (numerisch) zu lösen. Die Struktur von $\begin{eqnarray*} \mathbf{A} \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \mathbf{A}^{-1} \end{eqnarray*}$ sieht aber recht einfach aus. Habe ich hier etwas übersehen, oder gibt es einen Trick wie man das einfacher lösen könnte? ...wenn jemandem etwas auf/einfällt: vielen Dank für Hilfe!

15.03.2018, 13:24

HAL 9000

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Das Problem ist wohl weniger der Integrand als vielmehr am Ende das Integrationsgebiet. Wenn du deinen Weg mit der Transformation bzw. dann Rücktransformation zu $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ konsequent zu Ende gehst, gelangst du du

$\begin{eqnarray*} \gamma = \int\limits_{x_1=-\infty}^c ~ \int\limits_{x_2=-\infty}^{c-x_1} ~ \int\limits_{x_3=-\infty}^{c-x_1-x_2} \ldots \int\limits_{x_n=-\infty}^{c-x_1-\ldots-x_{n-1}} f_{X_1}(x_1)\cdot f_{X_2}(x_2)\cdot f_{X_n}(x_n) ~ \dd x_n ~ \dd x_{n-1} ~ \ldots ~ \dd x_2 ~ \dd x_1 \end{eqnarray*}$ .

15.03.2018, 16:40

Dan Trietsch

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Damit werde ich wohl genau eine Integration "los" wenn ich die bekannte Summenfunktion $\begin{eqnarray*} F_{X_n}(c-x_1-...-x_n) \end{eqnarray*}$ nutze.

Tatsächlich sind die Dichtefunktionen der $\begin{eqnarray*} X_i \end{eqnarray*}$ nur auf einem endlichen Gebiet auf $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ größer 0, so dass man nicht wirklich von $\begin{eqnarray*} -\infty \end{eqnarray*}$ weg integrieren muss. Aber es dauert trotzdem schon für wenige ZV lange. Gibt es dafür speziell geeignete Methoden?

15.03.2018, 16:46

Dan Trietsch

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Korrektur: $\begin{eqnarray*} F_{X_n}(c-x_1-...-x_{n-1}) \end{eqnarray*}$

15.03.2018, 16:49

HAL 9000

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Zitat:

Original von Dan Trietsch
Damit werde ich wohl genau eine Integration "los" wenn ich die bekannte Summenfunktion $\begin{eqnarray*} F_{X_n}(c-x_1-...-x_{n-1}) \end{eqnarray*}$ nutze.

Ja, so sieht's wohl aus - mehr ist auf Anhieb nicht drin.

Alle weiteren evtl. möglichen Vereinfachungen werden von der speziellen Struktur der $\begin{eqnarray*} f_{X_k} \end{eqnarray*}$ abhängen.

20.03.2018, 16:01

Dan Trietsch

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Die Verteilungen der einzelnen $\begin{eqnarray*} X_i \end{eqnarray*}$ werden als stückweise stetige Summenfunktionen ermittelt. Da werde ich mir noch was überlegen...

Danke jedenfalls für die Antworten! Freude

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