Handelt es sich bei den rationalen Zahlen und dem arith. Mittelwert um eine Gruppe?

16.03.2018, 11:18

Samson17

Handelt es sich bei den rationalen Zahlen und dem arith. Mittelwert um eine Gruppe?

Meine Frage:
Hallo,

es geht um Gruppen. Bisher ist es für mich kein Problem, jedoch stellt sich mir die Frage, ob die rationalen Zahlen Q mit dem arithmetischen Mittel (a+b)/2 eine Gruppe bilden.

Die Verknüpfung ist assoziativ.
Des Weiteren gibt es ein neutrales Element e=0.
Zu jedem a aus der Gruppe gibt es ein inverses Element, sodass a+b = b+a=0 gilt.
Und die Gruppe ist kommutativ, da a und b auch vertauscht werden können.

Ist das soweit richtig?

Meine Ideen:

Die Verknüpfung ist assoziativ.
Des Weiteren gibt es ein neutrales Element e=0.
Zu jedem a aus der Gruppe gibt es ein inverses Element, sodass a+b = b+a=0 gilt.
Und die Gruppe ist kommutativ, da a und b auch vertauscht werden können.

Ist das soweit richtig?
Ich stolpere etwas, da ich meiner Annahme bisher nur a+b betrachtet habe, also lediglich wie Q mit Addition behandelt habe. Beim arithm. Mittel ist es doch prinzipiell das Gleiche, nur dass ich dort noch den Faktor 1/2 habe , der ja an sich nichts ändert, oder?

Viele Grüße :-)

16.03.2018, 11:28

Elvis

Auf diesen Beitrag antworten »

Wieso ist $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ das neutrale Element ? Für $\begin{eqnarray*} a\ne 0 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} \frac {a+0}{2}=\frac a 2 \ne a \end{eqnarray*}$ .

16.03.2018, 11:52

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Samson17
Die Verknüpfung ist assoziativ.

Ist sie nicht. unglücklich

16.03.2018, 12:59

Samson17

Auf diesen Beitrag antworten »

Ahhh, danke euch :-)

Das zweite Axiom sagt, dass es zu jedem a ein neutrales Element e gibt, sodass e+a=a+e= a ergibt. Wenn mein e=0 ist, so bleibt a doch a verwirrt

Das dritte Axiom besagt, dass es zu jedem a ein inverses Element b gibt, sodass a+b=b+a=0.
Und genau hier hänge ich. Sind mit diesem Axiomen a und b aus dem Mittelwert gemeint oder ist mit a EIN Mittelwert gemeint und mit b ein ANDERER ?

16.03.2018, 13:13

Elvis

Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn das arithmetische Mittel eine Verknüpfung $\begin{eqnarray*} \oplus \end{eqnarray*}$ sein soll, dass muss gelten $\begin{eqnarray*} \oplus :\mathbb Q\times \mathbb Q\to \mathbb Q, (a,b)\mapsto a\oplus b=\frac {a+b}2 \end{eqnarray*}$ . Das wird keine Gruppe, wie HAL 9000 und ich schon festgestellt haben.

16.03.2018, 13:19

Samson17

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich glaube, ich habe das Problem mit dem Assoziativsein verstanden.
$\begin{eqnarray*} \frac{\frac{a+b}{2}+c}{2} \end{eqnarray*}$ ist nicht das gleiche wie $\begin{eqnarray*} \frac{a+\frac{b+c}{2}}{2} \end{eqnarray*}$ .

16.03.2018, 14:25

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

So ist es: Bei geltender Assoziativität müsste da dasselbe herauskommen, was hier aber nicht der Fall ist.

16.03.2018, 15:35

rumar

Auf diesen Beitrag antworten »

@Samson17:

Diese Ungleichheit solltest du aber nicht einfach behaupten, sondern nachweisen.

Zeige also (etwa an einem konkreten Beispiel) dass die beiden Terme im allgemeinen Fall nicht übereinstimmen !

Nur daraus, dass die geschachtelten Bruchterme "anders aussehen", kann man dies nicht schließen !

13.04.2018, 14:18

Samson17

Auf diesen Beitrag antworten »

Genau das habe ich gemacht, also ein konkretes Beispiel gewählt :-)

Danke nochmal.

Neue Frage »

Antworten »

Handelt es sich bei den rationalen Zahlen und dem arith. Mittelwert um eine Gruppe?

Verwandte Themen