Randwertproblem

17.03.2018, 00:08

Cactus45

Randwertproblem

Guten Abend habe gerade Probleme bei diesem Thema und habe gedacht ,dass ich die Aufgabe gleich poste ,da ich bald ne Klausur zu dem Thema schreibe Big Laugh

Was muss ich zu beginn der Aufgabe genau machen?

17.03.2018, 00:32

sibelius84

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Hi,

Schritt 1: Das ganze schreiben als Matrixgleichung y'=Ay + b
(denke dir die rechten Seiten erweitert zu $\begin{eqnarray*} 0y_1-1y_2 \end{eqnarray*}$ , bzw. $\begin{eqnarray*} -4y_1+0y_2 \end{eqnarray*}$ )

Schritt 2: Die homogene Gleichung y'=Ay lösen durch Berechnung der Eigenwerte und Eigenvektoren von A, und Aufstellen der Basislösungen daraus

Schritt 3: Eine partikuläre Lösung der inhomogenen Gleichung y'=Ay+b erraten, mit Hilfe des Tipps vom Blatt

Schritt 4: Allgemeine Lösung $\begin{eqnarray*} y(t)=y_p(t)+y_h(t) \end{eqnarray*}$ aufschreiben

Schritt 5: Randbedingungen einsetzen, daraus ein Gleichungssystem gewinnen und schauen, ob das eindeutig lösbar ist.

LG
sibelius84

17.03.2018, 00:37

Cactus45

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Wie mache ich das genau mit Schritt 1?

17.03.2018, 00:47

Cactus45

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$\begin{eqnarray*} y'(x) = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -4 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Soll ich jetzt Gauss machen wegen Eigenvektoren ?
Geht das überhaupt?

17.03.2018, 00:52

sibelius84

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Charakteristisches Polynom berechnen: bilde $\begin{eqnarray*} \det(A-\lambda E) \end{eqnarray*}$ und bestimme davon die Nullstellen $\begin{eqnarray*} \lambda_1,\lambda_2 \end{eqnarray*}$ . Das sind die Eigenwerte.

17.03.2018, 01:10

Cactus21

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lambda^2=-4

lambda 1,2= i. sqrt(4)

Ok?

17.03.2018, 09:00

Cactus45

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Korrigiert:

$\begin{eqnarray*} \lambda_1 = 2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lambda_2 = -2 \end{eqnarray*}$

Matrix Eigenwert 2

$\begin{eqnarray*} A1 = \begin{pmatrix} -2 & -1 \\ -4& -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Gauss:

$\begin{eqnarray*} A1 = \begin{pmatrix} -2 & 0 \\ 0& 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Unterste Zeilen sind 0.

Soll ich x2 = t wählen?

18.03.2018, 00:05

jack23

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Hat jemand Tipps ?

18.03.2018, 10:29

sibelius84

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Die Eigenwerte +/- 2 stimmen schon mal.

Zitat:

Matrix Eigenwert 2

$\begin{eqnarray*} A1 = \begin{pmatrix} -2 & -1 \\ -4& -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

kleiner Fehler: nach unten rechts muss eine -2.

Zitat:

Gauss:

$\begin{eqnarray*} A1 = \begin{pmatrix} -2 & 0 \\ 0& 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Unterste Zeilen sind 0.

Soll ich x2 = t wählen?

noch ein kleiner Fehler: Bei deinem obigen LGS wäre als einziges die Triviallösung x1=x2=0 herausgekommen (in dem Moment hätte dir auch der Fehler auffallen können - kein "Wunschrechnen" machen!). Aber korrigier erstmal dein LGS, dann wird die Berechnung des Eigenvektors evtl. auch einfacher.

18.03.2018, 10:54

jacky23

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Matrix Eigenwert 2

$\begin{eqnarray*} A1 = \begin{pmatrix} -2 & -1 \\ -4& -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Gauss:

$\begin{eqnarray*} A1 = \begin{pmatrix} -2 & -1 \\ 0& 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

-2x1-x2 = 0

Wie soll ich das LGS lösen?

18.03.2018, 10:55

jacky23

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Übe auch an dieser Klausur ,fand die auch sehr schwerCactus Big Laugh

18.03.2018, 11:16

Cactus45

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Aber wie bekomme ich dieses LGS gelöst?
-2x1-x2 = 0

Kann ich eine Variable t nennen oder wie genau?

18.03.2018, 17:05

sibelius84

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x1=t
Es folgt x2=-2t, und dass (1,-2) ein Eigenvektor ist.

18.03.2018, 17:29

Cactus1

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Matrix Eigenwert -2

$\begin{eqnarray*} A1 = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -4& 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
[/quote]

[quote]
Gauss:

$\begin{eqnarray*} A2 = \begin{pmatrix} -2 & -1 \\ 0& 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

x_1 = g

-2g = x2

v2 = (1,-2 )

Was soll ich jetzt genau weiter machen ?

18.03.2018, 19:47

sibelius84

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1. Deinen Fehler korrigieren. Du hast diesmal (2 -1), nicht mehr (-2 -1). Da kommt dann auch ein anderer Eigenvektor raus und nicht noch mal der selbe.

2. Der Satz lautet:
Sind $\begin{eqnarray*} \lambda_1,\ldots,\lambda_n \end{eqnarray*}$ paarweise verschiedene Eigenwerte der Matrix $\begin{eqnarray*} A\in\mathbb R^{n\times n} \end{eqnarray*}$ mit zugehörigen Eigenvektoren $\begin{eqnarray*} x_1,\ldots,x_n \end{eqnarray*}$ , so ist durch $\begin{eqnarray*} (e^{\lambda_1t}\cdot x_1,e^{\lambda_2t}\cdot x_2,\ldots ,e^{\lambda_n t}\cdot x_n) \end{eqnarray*}$ ein Fundamentalsystem der Lösungen des DGL-Systems y'=Ay gegeben.

Mit Hilfe dieser Aussage solltest du nun ein Fundamentalsystem aufschreiben.

18.03.2018, 20:01

jacky23

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Zitat:

Original von Cactus1
Matrix Eigenwert -2

$\begin{eqnarray*} A1 = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -4& 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

[quote]
Gauss:

$\begin{eqnarray*} A2 = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 0& 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Verdammt hatte mich verschrieben Big Laugh

2x_1 -x_2= 0

x_1 = t

2t = x_2

v2 = (1,2)

$\begin{eqnarray*} y(x) = c_1*e^{2x}*\begin{pmatrix} 1 \\ -2\end{pmatrix} + c_2* e^{-2x}*\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Was muss man bei der b) machen?

18.03.2018, 20:05

sibelius84

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Sich erstmal vergewissern, dass man mit der (a) auch wirklich fertig ist. Du hast jetzt gerade mal die homogene Lösung bestimmt. Du musst aber auch noch eine partikuläre Lösung erraten (geht hier ziemlich leicht) und mit den beiden dann die allgemeine Lösung aufschreiben.

18.03.2018, 20:10

jack23

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Soll ich als Partikulären Ansatz :
Ax+b nehmen ?

oder ax^2+bx+c

Hoffe meine Vermutungen stimmen überhaupt? Big Laugh

Wenigstens helfe ich gleichzeitig CACTUS Big Laugh

18.03.2018, 20:15

sibelius84

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Jeder der beiden Ansätze wäre geeignet und in Ordnung.

18.03.2018, 20:26

jacky23

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yp(x) = ax^2+bx+c

yp'(x) = 2ax+b

Wo soll ich das jetzt einsetzen ?

In die obere Gleichung oder untere vom Aufgabenblatt ? verwirrt

19.03.2018, 18:05

sibelius84

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Du müsstest schon zwei Ansatzfunktionen

$\begin{eqnarray*} y_{p1}(t):=a_1t^2+b_1t+c_1, \quad y_{p2}(t):=a_2t^2+b_2t+c_2 \end{eqnarray*}$

aufstellen - und dann in beide Gleichungen einsetzen.

19.03.2018, 23:20

Cactus45

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Melde mich mal zurück:

Habe y_p1 in die obere Gleichung eingesetzt :

$\begin{eqnarray*} 2a_1*t = a_1*t^2+b_1*t+c_1+1 \end{eqnarray*}$
Was mache ich jetzt weiter?

19.03.2018, 23:46

sibelius84

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Naja, du hast jetzt links y_p1 für y_1 eingesetzt, und rechts y_p1 für y_2. Das ergibt so keinen Sinn. Du musst in beiden Gleichungen (jeweils) y_p1 für y_1, und y_p2 für y_2 einsetzen.

19.03.2018, 23:54

Cactus45

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$\begin{eqnarray*} 2a_1*t +b_1= -a_2*t^2+b_2*t+c_2+1 \end{eqnarray*}$

Korriegiert aber was soll ich als nächstes machen ? verwirrt

20.03.2018, 10:30

sibelius84

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Zitat:

Original von sibelius84
Du musst in beiden Gleichungen (jeweils) y_p1 für y_1, und y_p2 für y_2 einsetzen.

20.03.2018, 11:15

Cactus45

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$\begin{eqnarray*} 2a_1*t +b_1= -a_2*t^2+b_2*t+c_2+1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2a_2*t+b_2 = -4*(a_1*t^2+b_1*t+c_1) \end{eqnarray*}$

hmm Was jetzt? verwirrt

Knifflig

20.03.2018, 13:27

sibelius84

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Die linke Seite der oberen Gleichung kannst du lesen als

$\begin{eqnarray*} 0t^2+2a_1t+b_1 \end{eqnarray*}$ .

Durch einen Koeffizientenvergleich mit der rechten Seite ergibt sich, dass a_2=0 sein muss. Analog folgt unten, dass a_1=0. Auf die Art und Weise kannst du versuchen, nach und nach immer mehr von den a_j, b_j, c_j herauszubekommen.

Die systematische Variante ist: Beide Gleichungen umformen auf (...)t² + (...)t + (...) = 0, und dann müssen - wieder per Koeffizientenvergleich - die ganzen (...) selber schon jeweils Null sein. Dauert aber länger, als wenn man sich bemüht, per Adlerauge einiges direkt zu erkennen. Augenzwinkern

20.03.2018, 14:05

Cactus45

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$\begin{eqnarray*} 2a_1*t +b_1= -a_2*t^2+b_2*t+c_2+1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2a_2*t+b_2 = -4*(a_1*t^2+b_1*t+c_1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_2 = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b_2 = 2a_1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} c_2 = 0 \end{eqnarray*}$

Untere Gleichung:

-4a_1 = 0

b_1 = 2a_2

c_1 = b_2

Das wars ?

20.03.2018, 17:25

Cactus1

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$\begin{eqnarray*} 2a_1*t +b_1= -a_2*t^2+b_2*t+c_2+1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2a_2*t+b_2 = -4*(a_1*t^2+b_1*t+c_1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -a_2 = 0 b_2 = 2a_1 c_2+1 = b_1 Untere Gleichung: -4a_1 = 0 -4b_1 = 2a_2 -4c_1 =b_2 \end{eqnarray*}$

Habe es ein wenig korrigiert.

Wie muss ich weiter vorgehen?

21.03.2018, 00:54

sibelius84

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Du hast doch a1=a2=0. Damit kannst du mindestens drei der weiteren Variablen bestimmen. Die restlichen versuchst du einfach auf 0 festzusetzen, damit eine brauchbare partikuläre Lösung entsteht.

21.03.2018, 20:58

Cactus1

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$\begin{eqnarray*} y_{p1}(t):=a_1t^2+b_1t+c_1, \quad y_{p2}(t):=a_2t^2+b_2t+c_2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y_{p1}(t):=0*t^2-1/2a_2t-1/4b_2, \quad y_{p2}(t):=0*t^2+2*a_1t+b_1-1 \end{eqnarray*}$

Ich habe die Lösungen so bestimmt kann das passen?

22.03.2018, 00:04

sibelius84

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Nein. Du musst für die a_j und b_j schon Zahlen herausbekommen.

22.03.2018, 01:57

Cactus45

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Verstehe ich ehrlich gesagt nicht gerade wie ich weiter voran komme jetzt? traurig

22.03.2018, 11:13

sibelius84

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Probieren, machen und tun, bis du y_p1 und y_p2 derart bestimmt hast, dass sie das DGL-System erfüllen.

https://de.wikipedia.org/wiki/Koeffizientenvergleich

Ich habe genug geholfen, jetzt bist du am Zug!

22.03.2018, 11:36

Cactus1

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$\begin{eqnarray*} 2a_1*t +b_1= -a_2*t^2+b_2*t+c_2+1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2a_2*t+b_2 = -4*(a_1*t^2+b_1*t+c_1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -a_2 = 0 b_2 = 2a_1 c_2+1 = b_1 Untere Gleichung: -4a_1 = 0 -4b_1 = 2a_2 -4c_1 =b_2 \end{eqnarray*}$

ausgerechnet :

b_1 = 0

c_2 = -1

b_2 = 0

Sieht es jetzt besser aus?

22.03.2018, 12:41

sibelius84

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Ok, du hast b_1 = b_2 = 0, c_2 = -1; und wenn ich scharf hinsehe, auch noch a_1=a_2=0. Damit hast du fünf Sechstel der Arbeit geschafft. Es fehlt nur noch c_1. Kannst du dir aber aus deinen Gleichungen auch noch leicht rausholen.

Schreib dir damit dann mal deine Lösung y_p auf (alles, was Null ist, streichen - sieht einfach netter aus Augenzwinkern

), setz die in deine Differentialgleichung ein und überlege dir, ob du die Lösung mit scharfem Hinsehen evtl. auch schneller hättest herausbekommen können.

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