Kugeloberfläche

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vidw Auf diesen Beitrag antworten »
Kugeloberfläche
Meine Frage:
Hallo

Mich würde interessieren,ob man aus einer 4.Raumdimension heraus die ganze Oberfläche einer 3 dimensionalen Kugel sehen kann

MfG

Meine Ideen:
Ich glaube ja

Ich hatte mit das mit einer Dimension weniger überlegt

Wenn man einen Kreis auf ein Blatt Papier zeichnet und daneben einen Punkt(Beobachter),dann kann man von diesem Punkt aus nur einen Teil der Kreisumfangs sehen

Wenn man aber die 2 dimensionale Papierebene verläßt und von einer 3.Dimension heraus auf das Blatt schaut,dass sieht man den ganzen Umfang
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kugeloberfläche
Eine wirklich interessante Frage! Intuitiv würde auch ich sie bejahen, aber der Beweis ziert sich noch ein wenig.

Mein Ansatz wäre gewesen, von Deiner 2D-Situation auszugehen, bei der der Punkt zunächst in derselben Ebene wie der Kreis liegt. Eine Gerade durch diesen Punkt kann den Kreis in bis zu zwei Punkten schneiden. Schneidet sie ihn in zwei Punkten, wäre das der Hinweis, dass der Kreis nicht vollständig vom Punkt aus zu "sehen" ist.

Man könnte also die (Einheits-)Kreisgleichung x²+y²=r² mit der Geradengleichung ax+by=k gleichsetzen und erkennen, dass es bis zu zwei Lösungen gibt.

Erhebt sich der Punkt nun in die dritte Dimension, gilt die Geradengleichung im Raum, also ax+by+cz=k, mit c ungleich Null. Und nun sollte es nur noch maximal eine Lösung beim Gleichsetzen geben.

Nun ließe sich das auf jeweils eine Dimension mehr erweitern. Also die Kugelgleichung x²+y²+z²=r² und die vierdimensionale Geradengleichung ax+by+cz+dz'=k (d ungleich Null) gleichsetzen und zeigen, dass es auch hier nur maximal eine Lösung gibt. Hier muss ich noch etwas Gehirnschmalz spendieren. Vielleicht gibt es ja auch weitere interessierte Mitstreiter.

Viele Grüße
Steffen
 
 
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

M.E. bedarf es zunächst einer sauberen, belastbaren Definition von "die ganze Oberfläche sehen":

So kann man z.B. durchaus der Auffassung sein, dass man die ganze Oberfläche auch vom Mittelpunkt der Kugel aus sehen kann, und muss dazu die dritte Dimension nicht mal verlassen. Augenzwinkern

Sowas sollte also zunächst mit dieser (wie gesagt) sauberen Definition dann wohl ausgeschlossen werden.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kugeloberfläche
Zitat:
Original von Steffen Bühler
...
Erhebt sich der Punkt nun in die dritte Dimension, gilt die Geradengleichung im Raum, also ax+by+cz=k, mit c ungleich Null. ..
...

Dies ist im Raum keine Geradengleichung mehr, sondern die einer Ebene.

mY+
rumar Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kugeloberfläche
Mich würde interessieren,ob man aus einer 4.Raumdimension heraus die ganze Oberfläche
einer 3 dimensionalen Kugel sehen kann

Meine Ideen:
Ich glaube ja

Ich hatte mit das mit einer Dimension weniger überlegt.

Wenn man einen Kreis auf ein Blatt Papier zeichnet und daneben einen Punkt(Beobachter),
dann kann man von diesem Punkt aus nur einen Teil der Kreisumfangs sehen.

Wenn man aber die 2 dimensionale Papierebene verläßt und von einer 3.Dimension heraus
auf das Blatt schaut, dass sieht man den ganzen Umfang.

==================================================

Die Betrachtung mit reduzierter Dimension ist jedenfalls gut. In einem zweiten Schritt könnte
man nun gezielt Koordinaten einführen, um einen rechnerischen Beweis zu erstellen. Was du
mit "dreidimensionaler Kugel" meinst, ist eine "gewöhnliche" Vollkugel K im Raum R.
Man kann sie (Radius 1) so beschreiben:



Ihre Oberfläche ist die Menge



In einen vierdimensionalen Raum können wir die Kugel K mit ihrer Oberfläche S z.B. so einbetten,
dass wir eine weitere Koordinate w einführen und sie für ganz K (und S) gleich 0 setzen.
Damit wird neu:





Nun brauchen wir nur noch einen Punkt, von welchem aus wir das Ganze betrachten möchten.
Dazu eignet sich eigentlich jeder Punkt B(w,x,y,z) mit . Wählen wir z.B. B(1,0,0,0).

Was soll nun bedeuten: "Von B aus kann man ganz S sehen" ?
Das lässt sich nun einfach so beschreiben: Für jeden Punkt P der Oberfläche S liegt kein Punkt
der Verbindungsstrecke im Inneren der Vollkugel K - denn nur auf diese Weise
könnte ja allenfalls die "direkte Sicht" von B zu P versperrt sein.
Dieser Beweis ist nun ganz einfach zu führen, denn jeder innere Punkt einer solchen Verbindungsstrecke
hat offensichtlich eine positive w-Koordinate, während alle Punkte in K die w-Koordinate 0 haben.
Punkt P ist der einzige Punkt von , welcher auch zu K (aber eben zu deren Oberfläche S)
gehört. Von B(1,0,0,0) aus hat man also tatsächlich freie Sicht zu jedem Punkt von S.
rumar Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kugeloberfläche
ganz kleine Korrektur:

Im Abschnitt

Was soll nun bedeuten: "Von B aus kann man ganz S sehen" ?
Das lässt sich nun einfach so beschreiben: Für jeden Punkt P der Oberfläche S liegt kein Punkt
der Verbindungsstrecke im Inneren der Vollkugel K
- denn nur auf diese Weise
könnte ja allenfalls die "direkte Sicht" von B zu P versperrt sein.

sollte es leicht abgeändert lauten:

Für jeden Punkt P der Oberfläche S gehört kein innerer Punkt
der Verbindungsstrecke zur Vollkugel K
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