Projektive Geometrie und "Parallelen"

19.03.2018, 00:14	dogler	Auf diesen Beitrag antworten »
Projektive Geometrie und "Parallelen" Hallo zusammen, ich habe noch ein paar Verständnisprobleme. In der projektiven Geometrie schneiden sich ja zwei Geraden immer, also spätestens in einem gemeinsamen Fernpunkt. Zusätzlich nimmt man ja auch an, dass durch zwei verschiedene Punkte $\begin{align} A, B \end{align}$ genau eine Gerade $\begin{align} g \end{align}$ geht. Ich nehme deshalb an, dass durch den Punkt $\begin{align} A \end{align}$ außerhalb einer Geraden $\begin{align} h \end{align}$ also genau eine Gerade $\begin{align} g \end{align}$ geht, aber mit $\begin{align} B \end{align}$ als Fernpunkt von $\begin{align} g \end{align}$ und $\begin{align} h \end{align}$ . Ich führe jetzt einfach mal einen zweiten Fernpunkt $\begin{align} C \end{align}$ auf der anderen Seite ein, und setze $\begin{align} h \end{align}$ und $\begin{align} g \end{align}$ statt $\begin{align} B \end{align}$ in Bezug zu $\begin{align} C \end{align}$ (ich nenne sie mal $\begin{align} h' \end{align}$ und $\begin{align} g' \end{align}$ ). Frage: ist jetzt dadurch, dass es sich um Fernpunkte handelt $\begin{align} h=h' \end{align}$ und $\begin{align} g=g' \end{align}$ ? Wenn ja, schneiden sich die Geraden also in zwei Fernpunkten? [attach]46730[/attach] PS: ich hoffe das mit dem Bild geht klar, ich habs mit boardmitteln nicht gescheit hinbekommen. Willkommen im Matheboard! Ich hab das Bild aus dem externen Link geholt und als Anhang eingefügt. Ist nicht sehr schwer, und externe Links sind halt irgendwann kaputt. Lies zur Not [User-Tutorial] Bilder einfügen Viele Grüße Steffen
19.03.2018, 12:51	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
In der projektiven Geometrie ist beispielsweise der zweidimensionale Raum $\begin{eqnarray} \mathbb R^2 \end{eqnarray}$ zu dem projektiven Raum $\begin{eqnarray} \mathbb P^3 \end{eqnarray}$ zu erweitern. Dort muss man dann zu den sogenannten homogenen Koordinaten übergehen: Zwei parallele Geraden g, h in $\begin{eqnarray} \mathbb R^2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} g: \ 2x_1 - x_2 - 1 = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} h: \ 2x_1 - x_2 - 3 = 0 \end{eqnarray}$ ------------------------------------- haben dort keinen Schnittpunkt, weil das zugehörige lineare GS keine Lösung hat. In $\begin{eqnarray} \mathbb P^3 \end{eqnarray}$ sieht dies dann - mit der Einführung einer dritten Koordinate $\begin{eqnarray} x_3 \ \ (x_1 \ \to \ \frac {x_1}{x_3}, \ x_2 \ \to \ ..) \end{eqnarray}$ so aus: $\begin{eqnarray} g: \ 2x_1 - x_2 - x_3 = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} h: \ 2x_1 - x_2 - 3x_3 = 0 \end{eqnarray}$ ------------------------------------- $\begin{eqnarray} S = (x_1; 2x_1; 0) = (1; 2; 0) \end{eqnarray}$ (Vielfache aller Koordinaten bezeichnen hier denselben Punkt) Nur mit $\begin{eqnarray} x_3 = 0 \end{eqnarray}$ hat das System eine Lösung. $\begin{eqnarray} S \end{eqnarray}$ bezeichnet mit seinen uneigentlichen Koordinaten einen Fernpunkt, weil $\begin{eqnarray} x_3 = 0 \end{eqnarray}$ (und dadurch nicht zu dividieren) ist. Parallele Geraden besitzen daher nur einen Fernpunkt, nicht zwei auf verschiedenen Seiten, das war dein Denkfehler. ---------- Siehe dazu auch --> https://www.matheboard.de/thread.php?threadid=581853 mY+
19.03.2018, 14:00	dogler	Auf diesen Beitrag antworten »
vielen dank. Bei der Formulierung über homogene Koordinaten war ich noch nicht

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