Produktansatz Verständnisproblem

20.03.2018, 09:20

BerndK

Produktansatz Verständnisproblem

Morgen allerseits, kann mir jemand erklären wie die in der Musterlösung nach dem Ansatz

X(x) *T(t)

auf das X" = lambda *X kommen ?
bzw T " =....

Und wie kommt man dann genau auf das charakteristische Polynom :

u^2-lambda ?

20.03.2018, 09:45

Huggy

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RE: Produktansatz Verständnisproblem

Zitat:

Original von BerndK
Morgen allerseits, kann mir jemand erklären wie die in der Musterlösung nach dem Ansatz

X(x) *T(t)

auf das X" = lambda *X kommen ?
bzw T " =....

Einfach mal den Produktansatz in die DGL einsetzen, $\begin{eqnarray*} X(x) \end{eqnarray*}$ und seine Ableitungen auf die eine Seite, $\begin{eqnarray*} T(t) \end{eqnarray*}$ und seine Ableitungen auf die andere Seite bringen. Dann ist die eine Seite der Gleichung nur von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ , die andere Seite nur $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ von abhängig sein. Beide Seiten müssen daher gleich und konstant sein. Die Konstante ist $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ genannt.

Zitat:

Und wie kommt man dann genau auf das charakteristische Polynom :

u^2-lambda ?

https://de.wikipedia.org/wiki/Charakteristische_Gleichung

20.03.2018, 10:11

BerndK

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Ich hätte den Produktansatz so gemacht :

u(x,v) = X(x)*T(t)

X"(x)*T(t)+T"(t)*X(x) = 0

X"(x)/X(x) = - T"(t)/T(t)

X"(x) = K*X(x)
T''(x) = -K*T(t)

Haben die das auch so in der Musterlösung gemacht ?

20.03.2018, 10:21

Huggy

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Ja.

Allerdings ist dir ein kleiner Fehler unterlaufen. Die DGL lautet

$\begin{eqnarray*} u_{tt}=u_{xx} \end{eqnarray*}$

und nicht

$\begin{eqnarray*} u_{tt}+u_{xx}=0 \end{eqnarray*}$

Deshalb ist das Minuszeichen bei dir in der separierten Gleichung für $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ nicht richtig.

20.03.2018, 10:23

BerndK

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Aha und das K nennen die einfach lambda oder wie ?

Aber von welcher Gleichung bestimmen die da genau das charakteristische Polynom ?

20.03.2018, 10:30

Huggy

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Zitat:

Original von BerndK
Aha und das K nennen die einfach lambda oder wie ?

Ja.

Zitat:

Aber von welcher Gleichung bestimmen die da genau das charakteristische Polynom ?

Na von

$\begin{eqnarray*} X''=\lambda X \end{eqnarray*}$

bzw. von

$\begin{eqnarray*} T''=\lambda T \end{eqnarray*}$

Die sind ja von der Struktur her identisch.

20.03.2018, 11:05

BerndK

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Also einfach das ober X" = u^2 nennen und das lambda auf die linke Seite holen?

u^2-lambda = 0

und dann halt nach u auflösen wie in Musterlösung.

Muss ich hier eigentlich auch das charakteristische Polynom für lambda < 0 berechnen ?

Das wäre dann ja:

u^2 = -lambda

$\begin{eqnarray*} \sqrt{-\lambda } \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} u1,2 = +-i*\lambda \end{eqnarray*}$

Wieso beleibt für den Fall lambda <0 nur der sin(...) Term übrig in der Lösung ?

cos(0) = 1und der sin(0) = 0 also müsste doch der sin Term wegfallen ?

Woher wissen die denn , dass in den Bedingunen 0 und Pi eingesetzt wird ?
Das verstehe ich auch nicht .

Leider wurde ,dass alles nicht in der Vorlesung erklärt

20.03.2018, 11:47

Huggy

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Zitat:

Original von BerndK
Also einfach das ober X" = u^2 nennen und das lambda auf die linke Seite holen?

u^2-lambda = 0

und dann halt nach u auflösen wie in Musterlösung.

Ja.

Zitat:

Muss ich hier eigentlich auch das charakteristische Polynom für lambda < 0 berechnen ?Das wäre dann ja:u^2 = -lambda

Der Fall $\begin{eqnarray*} \lambda<0 \end{eqnarray*}$ ist doch in der Musterlösung auch abgehandelt. Da $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ beliebig sein darf, muss das Vorzeichen eben nicht explizit betrachtet werden.

Zitat:

Leider wurde ,dass alles nicht in der Vorlesung erklärt

Die Musterlösung ist schon menr als ausführlich. Leider denken viele Studenten, dass sie überhaupt nicht mehr mitdenken müssen.

20.03.2018, 12:00

Cactus45

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Hatte ja noch die Fragen gehabt:
Wieso beleibt für den Fall lambda <0 nur der sin(...) Term übrig in der Lösung ?

cos(0) = 1und der sin(0) = 0 also müsste doch der sin Term wegfallen ?

Woher wissen die denn , dass in den Bedingunen 0 und Pi eingesetzt wird ?
Das verstehe ich auch nicht .

P:S hatte mich vorher vergessen einzuloggen Bernd = Cactus

20.03.2018, 13:05

Huggy

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Zitat:

Original von Cactus45
Hatte ja noch die Fragen gehabt:
Wieso beleibt für den Fall lambda <0 nur der sin(...) Term übrig in der Lösung ?

cos(0) = 1und der sin(0) = 0 also müsste doch der sin Term wegfallen ?

Was bekommst du denn heraus, wenn du bei

$\begin{eqnarray*} X(x)=c_1 \sin {\sqrt {| \lambda |}x}+c_2 \cos {\sqrt {| \lambda |}x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ einsetzt?

Zitat:

Woher wissen die denn , dass in den Bedingunen 0 und Pi eingesetzt wird ?
Das verstehe ich auch nicht .

Man kann alles mögliche einsetzen. Die Frage ist, hilft einem das weiter? Da kann es nicht schaden, bei den Winkelfunktionen mal Stellen auszuprobieren, an denen diese charakteristische Werte annehmen.

Offensichtlich hast du meine Bemerkung über das Mitdenken ignoriert.

20.03.2018, 13:15

Cactus45

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X(0)= c1*sin(...*0)+c2*cos(...*0) = c1*0+c2*1 = c2 = 0

Wie kommen die dann auf die Lösung mit sin... weiter unten?

20.03.2018, 13:24

Huggy

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Zitat:

Original von Cactus45
Wie kommen die dann auf die Lösung mit sin... weiter unten?

Steht doch da: Diesmal in die durch $\begin{eqnarray*} X(0)=0 \end{eqnarray*}$ schon reduzierte mögliche Lösung $\begin{eqnarray*} x=\pi \end{eqnarray*}$ eingesetzt.

20.03.2018, 14:43

Cactus1

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Aber warum hat man das in den sin und nicht cosinus eingesetzt?

Weil die cosinus Funktion schon weg ist ?

20.03.2018, 15:34

Huggy

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Du hast doch gerade nachvollzogen, dass $\begin{eqnarray*} c_2=0 \end{eqnarray*}$ gelten muss.

Zitat:

Original von Cactus45
X(0)= c1*sin(...*0)+c2*cos(...*0) = c1*0+c2*1 = c2 = 0

Also gibt es den Term mit den Cosinus gar nicht mehr. Du gibst dir nicht die geringste Mühe, selbst mitzudenken. Mir reicht es. Ich bin raus.

20.03.2018, 16:21

Cactus1

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Wie kommen die dann schlussendlich auf die allgemeine Lösung?

Haben die einfach dann die letzte berechnete Lösung aufgeschrieben ?

20.03.2018, 18:40

Huggy

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Zitat:

Original von Huggy
Du gibst dir nicht die geringste Mühe, selbst mitzudenken. Mir reicht es. Ich bin raus.

Vielleicht ist ein anderer Helfer bereit, seine Nerven zu strapazieren.

20.03.2018, 20:48

Cactus45

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Verstehe diesen Kommentar nicht.

Das Forum ist doch dafür da ,die Sachen die man nicht versteht zu lernen .
Nicht für jeden ist das alles so einfach.

Mir würde es persönlich eine Freude bereiten jemanden zu helfen wenn er was nicht versteht Lehrer

Aber ok . Dann ist es so unglücklich

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