Sturm-Liouville

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MrGray33 Auf diesen Beitrag antworten »
Sturm-Liouville
Hallo leute ich bin es wieder MrGray mit der 2ten Aufgabe wo ich porbleme hab.

Leider noch keine Ansätze .

Hoffe das ich mit eurer Hilfe bei Ansätze hin bekomme.

Gleich zu Beginn haperts Big Laugh
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

der Laplace-Operator bedeutet ja . Kannst du damit angeben, was ist, und das in die DGL einsetzen?

Wenn du dann noch ein wenig umformst und ein Standardargument hinschreibst, hast du schon die (a) gelöst.

LG
sibelius84
MrGray33 Auf diesen Beitrag antworten »

X“(x)*Y(y) +Y“(y)*X(x)=0

X“(x)/X(x)= -Y“(y)/Y(y)

Ich denke mal dass du das meinst .

Aber wo soll ich das einsetzen ?
MrGray33 Auf diesen Beitrag antworten »

Noch da Sibelius?
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt wieder.

Du sollst das nirgendwo einsetzen, sondern aus der Beobachtung, dass auf der linken Seite nun eine Funktion steht, die nur von x abhängt, und auf der rechten Seite eine, die nur von y abhängt, geeignete Schlüsse ziehen. Dann kannst du die beiden einzelnen DGLen daraus aufstellen (so, wie sie ja auch schon auf dem Blatt stehen) und weiterrechnen, indem du diese löst.
MrGray33 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe ja die Gleichung aufgestellt ?

Könnte noch ein -delta aufschreiben ?

Bin gerade verwirrt ?
 
 
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Schau dir mal diese sehr ähnliche Aufgabe an:

Produktansatz Verständnisproblem
MrGray33 Auf diesen Beitrag antworten »

Gut nächster Versuch:

X“(x)*Y(y) +Y“(y)*X(x)=0



Man sagt dann anscheinend einfach:




Ich nehme jetzt die Y DGL für die Berechnung der Fälle lambda >0, <0 usw
Ist es egal welche ich der beiden nehme ?
Fall lambda < 0 , da minus auf der rechten Seite ?
u^2 = -lambda




Y(y) =



Grenzwerte x = 0 , y=1 ?
Y(0) =

Dann bleibt nur sin übrig also:
Y(0) =

Wie bekomme ich hier den lambda Wert raus?
Das verstehe ich bei deiner Aufgabe Huggy auch nicht?

Der Fall lambda = 0 ist gleich wie bei deiner AUfgabe Huggy?


lambda >0
einfach positives lambda auf rechter Seite nehmen ?

u^2 = lambda

Y(0) c_1 =c_2 =0

Müsste bei Y(1) nicht = c_1*e^1+c_2*e^1 übrig bleiben ?

Wieso sagt man einfach Triviale Lösung?
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Ich lasse jetzt wieder sibelius84 weitermachen.
MrGray33 Auf diesen Beitrag antworten »

Aber willst du nicht wenigstens sagen, ob meine Rechnung stimmt?
War schon ne sau Arbeit alles ins Board einzutippen Big Laugh

Oder haben sich da Fehler eingeschlichen ?
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Zum Ersten: Zur logischen Schlussweise

Zitat:
Original von MrGray33
Gut nächster Versuch:

X“(x)*Y(y) +Y“(y)*X(x)=0



Man sagt dann anscheinend einfach:
[...]


Zitat:
Original von sibelius84
Du sollst das nirgendwo einsetzen, sondern aus der Beobachtung, dass auf der linken Seite nun eine Funktion steht, die nur von x abhängt, und auf der rechten Seite eine, die nur von y abhängt, geeignete Schlüsse ziehen. Dann kannst du die beiden einzelnen DGLen daraus aufstellen (so, wie sie ja auch schon auf dem Blatt stehen) und weiterrechnen, indem du diese löst.


Man sagt das nicht einfach, sondern man zieht geeignete Schlüsse! (Überlege dir mal, was passiert, wenn du die obige Gleichung nach x bzw. nach y ableitest. Wird da nicht zufällig eine Seite jeweils Null? Und da wir in einer Gleichung sind, dann automatisch auch die andere? Augenzwinkern )



Zum Zweiten:

Bei Sturm-Liouville ist standardmäßig nur der Fall interessant, in dem Sinus- und Kosinusfunktionen als Lösungen herauskommen, also komplexe Nullstellen des charakteristischen Polynoms. Häufig ist das lambda<0, ja. Die Fälle lambda>0 und lambda=0 darf man trotzdem nicht ignorieren, sondern muss sie eben kurz pro forma 'abfrühstücken'.



Zum Dritten (auf deine Frage "Wie bekomme ich hier den lambda Wert raus?"):

Da man davon ausgehen darf, dass c_1 ungleich Null ist, wird sein müssen. Also muss eine Nullstelle des Sinus sein. Nun rufe dir in Erinnerung, was die Nullstellen des Sinus sind. Damit bekommst du deine Eigenwerte heraus. Die zugehörigen Funktionen heißen dann Eigenfunktionen.
MrGray33 Auf diesen Beitrag antworten »

Aha jetzt verstehe ich wie ich auf das Lambda komme Big Laugh

Nullstellen von sinus : 1Pi,2pi,... usw

lambda = n*pi

da ne wurzel steht :

n^2*pi^2



Aber nur der Interessen halber wie kommen die in der Lösung von Huggy in dem anderen Thread nur auf -n^2 ?


Hätte man bei meiner Aufgabe nicht auch die DGL mit dem X nehmen können zur Berechnung?
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von MrGray33
Aber willst du nicht wenigstens sagen, ob meine Rechnung stimmt?

Wenn ein Helfer begonnen hat, Hilfestellung zu geben, gebietet es die Höflichkeit, ihm nicht einfach dazwischen zu funken, solange nichts definitiv in die falsche Richtung läuft. Außerdem konnte diese Frage auch nicht mit einem einfachen ja oder nein beantwortet werden.

Zitat:
Original von sibelius84
Bei Sturm-Liouville ist standardmäßig nur der Fall interessant, in dem Sinus- und Kosinusfunktionen als Lösungen herauskommen, also komplexe Nullstellen des charakteristischen Polynoms. Häufig ist das lambda<0, ja. Die Fälle lambda>0 und lambda=0 darf man trotzdem nicht ignorieren, sondern muss sie eben kurz pro forma 'abfrühstücken'.

Gerade als Anfänger solte man das bei diesen PDGL sollte schon exakt durchexerzieren. Bei geeigneten Randbedingungen können auch "unübliche" Fälle auftreten.
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Die DGL bzgl. X musst du auch noch lösen, wobei die Eigenwerte ja jetzt schon bekannt sind.

Ich würde bei deinen Lösungen Y(y) auch noch die Variable y mit in die Klammer setzen, ansonsten wären das alles nur Konstanten.

Ich habe in dem anderen Thread kein -n² finden können, aber das wird dann auch einfach entsprechend aus einer Umformung resultiert haben.
MrGray33 Auf diesen Beitrag antworten »

Wie löse ich den jetzt die Gleichung bezüglich X ?
Das muss ich ja für die b) machen denke ich
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Genauso, wie du die für Y gelöst hast.
MrGray33 Auf diesen Beitrag antworten »

In meiner Musterlösung wenden die das Superpositionsprinzip an .

verwirrt
Schwer Big Laugh
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Superponieren bedeutet einfach übereinanderstapeln.

Etwa wenn du die DGL y''=-y hast mit Startbedingungen y(0)=1, y'(0)=1, dann kannst du dir ja erstmal überlegen, dass offenbar cos(x) die DGL löst und die erste Startbedingung erfüllt. Aber es ist cos'(0)=0 und nicht 1, also ist die zweite Bedingung verletzt. Hmmm. Wenn wir sin(x) versuchen, dann erfüllt das die zweite Startbedingung; aber sin(0)=0 und nicht 1, also ist hier jetzt die erste Startbedingung verletzt.
Also machen wir doch einfach Folgendes: Wir setzen y(x):=sin(x)+cos(x). Denn wenn gewisse Funktionen f1, f2, ... eine lineare DGL erfüllen, so tut ihre Summe f1+f2+... das auch - eben nach dem Superpositionsprinzip!
Damit gilt dann y(0)=sin(0)+cos(0)=1, y'(0)=cos(0)-sin(0)=1, und vor allem: y''=-y, und alle sind glücklich.
MrGray33 Auf diesen Beitrag antworten »

So steht es in der Lösung .

Da stehen zwei sinus Terme?
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast doch deine DGL für X bereits gelöst. Vergleich doch deine Lösung mal mit der Musterlösung, bzw. genauer gesagt: Schau, ob du sie irgendwo 'darin' schon wiedererkennst.
Dann lös noch deine DGL für Y, setze das ganze in den Produktansatz X(x)Y(y) vom Anfang ein und beachte das Superpositionsprinzip - dann kannst du deine eigene Musterlösung aufschreiben Augenzwinkern
MrGray33 Auf diesen Beitrag antworten »

Soll ich auch wieder eine Fall Entscheidung für y Dgl machen oder wie ?

Bevor ich falsch los rechne Big Laugh
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Du musst die DGL lösen mit der Startbedingung X(0)=0. Die lambda's kennst du ja jetzt schon aus deiner Lösung für Y. Kannst du explizit einsetzen, wenn dir das die Rechnung erleichtert. Kannst aber auch einfach lösen (aus der Lösung für Y kennst du ja jetzt zumindest das Vorzeichen der lambda's) und sie erst zum Schluss einsetzen, das ist egal.
MrGray33 Auf diesen Beitrag antworten »

X" = lambda *K

u^2 = lambda

u1;2 = +- sqrt(lambda)
Y(0) c_1 =c_2 =0

lambda <0

das gleiche wie davor.

Aber die Ergebnisse sind doch wieder gleich?
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Aus deinen Nullstellen ergibt sich

. Die allgemeine Lösung ist dann . Und die muss nun auch noch die vorgegebene Startbedingung erfüllen.
MrGray33 Auf diesen Beitrag antworten »

Für lambda > 0 bekomme ich ja
Müsste bei X(0) nicht = c_1*e^(lambda*0)+c_2*e^(lambda*0)

c1=c2 = 0

Wie kommst du auf deine 2 Gleichungen gerade ?

Das verstehe ich nicht.

Bitte um Erklärung
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von MrGray33
Müsste bei X(0) nicht = c_1*e^(lambda*0)+c_2*e^(lambda*0)

c1=c2 = 0


Nein. Es gilt c1+c2=0.

Auf meine beiden Gleichungen von gerade komme ich, indem ich den allgemeinen Ansatz für lineare DGLen mit konstanten Koeffizienten berücksichtige. (Man rechnet die lambda's aus und setzt sie nachher dort wieder ein.)
MrGray33 Auf diesen Beitrag antworten »

Achso jetzt verstehe ich es bei dieser DGl haben wir jetzt Superposition angewendet .
Fall K> 0

y1(t) = e^{-sqrt(lambda)*t}
y2(t) = e^{sqrt(lambda)*t}


K<0

X(y) =



Grenzwerte x = 0 , y=1
X(0) =


x1 =
x2 =


K= 0

X(x) = c_1*x+C_2

Was wäre dann hier bei Superposition?

Hoffe das ich es soweit richtig verstanden hab?
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich fürchte in der konkreten Anwendung nein. Hier haben wir ja einen Produktansatz X(x)Y(y) gewählt. Für Y(y) hast du ja dein Ergebnis (das, was du mit X(y) bezeichnest, was nicht viel Sinn ergibt) und bei X(x) kommt raus: .
Die beiden Ergebnisse multiplizierst du zusammen (gemäß des Ansatzes X(x)Y(y)) und diese Lösungen werden dann superponiert (eben durch die Summe bzw. Reihe, die glaube ich auch auf dem Aufgabenzettel steht).
MrGray33 Auf diesen Beitrag antworten »

Tut mir leid .

Ich verstehe gerade wieder nicht was du gemacht hast ? verwirrt

Verstehe einfach nicht was ich da berechnen soll? Big Laugh
MrGray33 Auf diesen Beitrag antworten »

.

Ah meinst du dass man jetzt alle 3 Lösungen also die oberen miteinander multiplizieren soll?


Es gibt ja drei Lösungen und nicht nur 2oder ?
Für lambda <0,>0,=0
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Du hattest bereits festgestellt, dass die DGL angesichts der Randbedingungen Y(0)=Y(1)=0 nur für positives lambda Sinn ergibt. Konkret hattest du ja für lambda bereits herausbekommen:

.

Nun sind die Lösungen für X ja gerade .

Also bekommen wir als Lösungen raus:

.
MrGray33 Auf diesen Beitrag antworten »

Beachte man bei superposition also nur die Lösung die sozusagen relevant ist ?
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Kannst du so sagen, ja. Wenn du etwa die Wellengleichung mit c=1, betrachtest für mit Randbedingungen und Startbedingung (korrigiert) , so kannst du ja auch einen Produktansatz X(x)T(t) machen. Dieser sollte liefern (wobei man in diesem Fall aufgrund der Symmetrie tatsächlich ausnahmsweise mal nur eine DGL mit konstanten Koeffizienten lösen muss und nicht zwei):
. Da das Ding für x=0 den Wert Null annehmen soll, fällt der Cosinus alsbald weg und nur der Sinus bleibt übrig. Da es nun aber auch für x=pi den Wert Null annehmen soll, muss eine ganze Zahl sein, also , und .

Die Lösung der DGL für T liefert die selbe allgemeine Lösung (mit gamma, delta statt alpha, beta, und natürlich t statt x): , bzw. . Also als allgemeine Lösung

.

Wenn du dies jetzt mit der Startbedingung vergleichst, so kannst du tatsächlich für setzen und nur mit diesen endlich vielen (genauer: drei) Summanden weiterarbeiten. "Rosinenpicken" quasi. Ein sehr wichtiges Werkzeug in der Mathematik.
Aber wehe, da steht mal (korrigiert) ... das gäbe dann den nächsten thread und die nächsten paar Tage Arbeit für uns zwei Big Laugh
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von sibelius84
Aber wehe, da steht mal ...

Wie kann von abhängen.
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Da haste auch wieder Recht. Mit meiner obigen Lösung gilt ja .
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