Parameterdarstellung von Kurve aufstellen

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Phanta Auf diesen Beitrag antworten »
Parameterdarstellung von Kurve aufstellen
Hallo,
ich war mir nicht sicher, ob das besser ins Schulforum oder Hochschulforum passt. Ich persönlich sehe die Aufgabe eher im Bereich der Schulmathematik, habe aber trotzdem Schwierigkeiten sie zu lösen.

Es sei dabei angemerkt, dass ich alle Informationen und Aufgabenstellung nur als Nacherzählung/Aufschreibsel von einem Kommilitonen bekommen habe. Das war eine Klausur-Aufgabe, die ich versuchen wollte, zu lösen. Ich zitiere mal die Aufgabenstellung, wie ich sie bekommen habe:

Sei . Gegeben seien ein Kreis mit dem Mittelpunkt , Radius und der Strahl der durch den Ursprung geht. Der Strahl schneidet den Kreis im Punkt .

bezeichne den Punkt auf dem Strahl , der durch gegeben ist. Variiert man den Strahl , so beschreibt eine ebene Kurve, deren Spur grafisch blau markiert ist. Man bestimme für eine Parametrisierung.

Hinweis: Für den Strahl gilt: mit variabler Steigung . Man bestimme den Schnittpunkt mit dem Kreis und anschließend die Koordinaten von unter Berücksichtung, dass und kollinear sind.

Anbei habe ich die Skizze, die mein Kommilitone mir gegeben hat, mit TikZ nachkonstruiert (zum besseren Verständnis):

[attach]46742[/attach]

Nun meine Frage(n): Lässt sich die Aufgabe mit den gegebenen Informationen so ohne weiteres Lösen?

Ich habe den Schnittpunkt von und dem Kreis berechnet. Ich weiß allerdings noch nicht, wie ich damit auf die Koordinaten von kommen soll. Ich weiß auch (noch) nicht, was mit die Information
genau bringt. Ich verstehe es auch in dem Sinne nicht, dass die Länge von doch nicht bloß sondern unbegrenzt ist, oder etwa nicht?

Weiß hier jemand Rat? Ich verzweifle noch an der Aufgabe - es wäre aber gut zu wissen, ob mit den gegebenen Informationen die Aufgabe überhaupt lösbar ist.

Es würde mir schon reichen, falls jemand einen Hinweis für mich hat. Ich rechne dann gerne selber nach Freude

Vielen Dank

Edit opi: Bild angehängt, Link entfernt. Bilder bitte immer direkt im Board hochladen.
riwe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Parameterdarstellung von Kurve aufstellen
das scheint schon die halbe Miete oder mehr zu sein Augenzwinkern
bestimme noch die Koordinaten von S usw.
Phanta Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo riwe,

vielen Dank für deine Rückmeldung. Die Koordinaten von S lauten . Doch wie bringen die mich weiter? Ist die Aufgabe mit den gegebenen Informationen auch lösbar? Hast du einen weiteren Tipp für mich?

Liebe Grüße
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

wenn sie so gemeint ist, wie ich sie verstanden habe:
dann siehst du oben das Ergebnis Augenzwinkern

nächster Schritt: bestimme |SR|

und nun weißt du P liegt auf g, oder wie auch immer du die Gerade nennen willst, damit hast du schon deine Parameterdarstellung

edit: Korrektur wie unten
Phanta Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo riwe,

bitte entschuldige, ich hab's noch nicht ganz verstanden.

Wie kann ich denn |SP| ohne Kenntnis von P ermitteln?

Oder reden wir aneinander vorbei? Oder meintest du |SR| ? Wie kann ich von letzterem auf die Koordinaten von P schliessen?

Was war gemeint mit 'oben'?

Liebe Grüße
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

entschuldige, ich meinte natürlich |SR|
(werde es oben korrigieren)

es gilt doch |SR| =|OP| mit P auf g
 
 
Phanta Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo riwe,

vielen Dank! Woher weiss ich, dass |SR| = |OP| gilt?

Ich kann es deinem Bild zwar entnehmen, doch ohne das Bild hätte ich das nicht gesehen.

Wie kommt man auf diese Tatsache oder anders: warum gilt das? Warum kann P nicht zufällig minimal anders liegen?

Wie kann ich das nachvollziehen?

Liebe Grüße
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

das steht doch in der Angabe



zumindest habe ich das so interpretiert verwirrt
Phanta Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo riwe,

Deine Interpretation ist richtig!

Ich habe das allerdings nicht rauslesen können.

Ich sehe leider noch nicht, warum aus

folgt, dass

mit P auf g.

Also wie kommt man von so ganz ohne weiteres auf ?

Ich sehe echt den Wald vor lauter Bäumen nicht.

Liebe Grüße und Danke für deine Geduld.
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

ist halt schon zu spät, da fehlen (bei mir) die Betragsstriche: ich zitiere:
P bezeichne den Punkt auf dem Strahl ..... mt |r|=|SP| , das heißt doch, dass der Abstand des Punktes P von O, also |OP|=|SP|

das scheint schon ein kleiner Wald zu sein Augenzwinkern
Phanta Auf diesen Beitrag antworten »

Achsooooooo!!!!!

ohhhhhmaaaaaaan jetzt hab ich es verstanden!!!

Ich habe ausgerechnet diese Stelle im Text nämlich die ganze Zeit nicht verstanden und das war nämlich genau das Problem die ganze Zeit.

Ich habe wirklich nicht begriffen, dass mit

"P bezeichne den Punkt auf dem Strahl r, der durch |r|=|S-R| gegeben ist"

die ganze zeit konkret gemeint war, dass damit also |S-R| gerade dem Abstand von P zum Ursprung O (also gerade |P-O|) entspricht...

Ich muss aber ehrlich zugeben, ich konnte es einfach nicht der Angabe entnehmen. Vielleicht bin ich einfach schwer von Begriff Augenzwinkern

Ich danke dir 1000x für deine Geduld und tolle Hilfe. Wirklich riesen Dank.
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

das geht halt oft so,
wenn man sich einmal verrannt hat, findet man nicht mehr aus dem Walde Augenzwinkern

freut mich, wenn ich dir helfen konnte
rumar Auf diesen Beitrag antworten »

Meiner Meinung war das Hauptproblem von Anfang an die falsche oder unpräzise Bezeichnungsweise.
Ein Strahl ist nicht dasselbe wie ein Vektor, und wenn R und S Punkte sind, dann ist nicht klar, was mit |R-S| gemeint ist, ohne dass man dies erklärt.
Solche Unklarheiten können das Verständnis eben in katastrophaler Weise erschweren.
punktlandung3 Auf diesen Beitrag antworten »

???

Frage ich habe dann immer noch einen Faktor |OR| / |OS| vor 2a und 2at stehen von bspw. x/2a = |OP|/|OS|, setze ich dafür Kreis und Geradengleichung gleich und dann verschwindet dieser in t?
__________________________

mit wäre der Faktor dann . Wenn es falsch ist oder bei Bedarf die zwei Antworten hier zusammenfügen oder löschen bitte.

[mY:] Beiträge zusammengefügt
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, der Faktor verschwindet nicht; überhaupt verschwindet da nichts, keiner der Faktoren.
Beim Gleichsetzen der Kreis- und Geradengleichung ergibt sich der Punkt

; mit ist der Vektor



Da laut Voraussetzung , kann der Ortsvektor zur gesuchten Parameterkurve direkt aus den Koordinaten von abgelesen werden!

(Ortskurve):



----------------------------

Dies kann sogar noch parameterfrei gemacht werden, dann verschwindet t (endlich Big Laugh ):



Das ist die parameterfreie Gleichung der Ortskurve.

[attach]52119[/attach]

mY+
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