CL Viertelfinal-Auslosung

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Pippen Auf diesen Beitrag antworten »
CL Viertelfinal-Auslosung
Sie ist zwar bereits vollzogen dennoch: Wie hoch war vor der Auslosung die Wahrscheinlichkeit für die Partie Liverpool-Rom bzw. Rom-Liverpool?

Ich bin da mit meinem Latein schnell am Ende. Ich modelliere das mit einem Baumdiagramm und merke, dass jeder Ast die Wahrscheinlichkeit 0,0000248 hat. Doch jetzt muss ich wissen, in wievielen Ästen Liverpool-Rom bzw. Rom-Liverpool hintereinander kommen, aber auch so, dass sie gegeneinander spielen. So wäre zB dieser Ast "gut": Barca-Bayern-Rom-Liverpool-Juve-Real-Sevilla-Man, ein anderer Ast aber "schlecht", weil dort zwar Rom und Liverpool hintereinander kommen, aber nicht gegeneinander spielen: Barca-Rom-Liverpool-Bayern-Sevlila-Juve-Man-Real. ME ist das nicht auszurechnen, oder?

Eine andere Idee: Es gibt doch bei 8 Mannschaften und Paarauslosung genau 28 Paarungen (n!/k!*(n-k)!). Jede Ziehung ist nun gleichwahrscheinlich, eine davon wäre Rom/Liv bzw. Liv/Rom, also wäre die Wahrscheinlichkeit 1/28. Eine innere Stimme sagt mir aber - ohne Begründung - 1/7.

Wie sähe der Rechenweg aus und welches Ergebnis kommt raus?
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

ist richtig.

Zwei mögliche Erklärungen:
1. Ab dem Viertelfinale gibt es keine Einschränkungen bei der Ziehung mehr (z.B. keine Mannschaften aus demselben Land gegeneinander). Damit gibt es für Rom 7 mögliche Gegner, die alle mit gleicher Wahrscheinlichkeit gelost werden können.

2. Mit deinem Ansatz:
Zitat:
Original von Pippen
Jede Ziehung ist nun gleichwahrscheinlich, eine davon wäre Rom/Liv bzw. Liv/Rom, also wäre die Wahrscheinlichkeit 1/28.

Das stimmt deshalb nicht, weil bei den 28 Paarungen ja auch Partien dabei sind, bei denen weder Rom noch Liverpool beteiligt sind.
Es wird nicht nur eine, sondern 4 von den 28 möglichen Paarungen gezogen. Und die Wahrscheinlichkeit, dass Rom-Liverpool eine davon ist, ist .
 
 
Pippen Auf diesen Beitrag antworten »

Beide deine Argumente tun ja so als ob quasi die Auslosung auf einmal geschieht. Tatsächlich ist es ja ein schrittweiser Vorgang: Erst wird eine Paarung gezogen, die hat die Wahrscheinlichkeit 1/28, dann wird die nächste gezogen mit einer Wahrscheinlichkeit von 1/15, dann noch eine Paarung mit 1/6, die letzte Paarung hat 1/1. Man könnte das Ganze auch als Baumdiagramm aufzeichnen. Wie bist du dir sicher, dass das nicht zu anderen Ergebnissen führt?

Ein weiterer Grund, warum ich skeptisch bin: P(zweite Ziehung Liverpool|erste Ziehung Rom) = 1/7. Auf der anderen Seite sagst du, dass 1/7 auch die absolute Wahrscheinlichkeit ist, dass Liv/Rom bzw. Rom/Liv gezogen würden. Das klingt irgendwie verdächtig.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Das ganze an einem Baum durchzuexerzieren ist ziemlich langwierig. Ich schlage daher eher folgende alternative Begründung vor:

Man betrachtet die Auslosung als ganzes, d.h., man zieht hintereinanderweg alle 8 Mannschaften und die Paarungen sind dann 1-2, 3-4, 5-6, 7-8. Alle Permutationen sind gleichwahrscheinlich, jetzt schauen wir uns an, welche dieser Permutationen die Paarung Liverpool-Rom beinhalten:

Liverpool kann an jeder der Positionen 1..8 landen (8 Möglichkeiten), "günstig" ist dann für Rom jeweils nur eine Position (bei Liverpool 1 wäre das Rom 2, bei Liverpool 2 dann Rom 1, bei Liverpool 3 dann Rom 4 usw.), während die anderen 6 Mannschaften anschließend beliebig angeordnet werden können. Das ergibt dann Laplace-Wahrscheinlichkeit

,

also der von Nick angegebene Wert. Vielleicht bist du ja jetzt von dem Wert überzeugt. Augenzwinkern
Pippen Auf diesen Beitrag antworten »

Super, die Erklärung verstehe ich sogar! smile
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