Kern und Bild der Transponierten Matrix

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Mathe_Frage Auf diesen Beitrag antworten »
Kern und Bild der Transponierten Matrix
Meine Frage:
Hallo,
ich sitze gerade ain folgender Frage aus einer Altklausur, aber verstehe leider nicht, wie ich vorgehen soll.



Bestimme Kern, Bild; Eigenwerte und Eigenvektoren.
Diagonalisierbar?

Ich würde mich über Tipps freuen.
Grüße

Meine Ideen:
Was genau der Kern und das Bild sind verstehe ich.
Der Kern sind all die Abbildungen, die auf die Null abgebildet werden. Das Bild sind all die Elemente, die herauskommen, wenn man sie mit der Abbildungsvorschrift abbildet, hierbei also eine quadratische Matrix der Größe nxn, die auf ihre transponierte Matrix abgebildet wird.
Bei Eigenwerten und EIgenvektoren wei0 ich leider schon nicht mehr genau, wie ich dies für diese Abildung interpretieren soll.
Für die Diagonalisierbarkeit muss ich die Eigenwerte kennen, um eine Basis aus Eigenvektoren bestimmen zu können oder?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Einfach mal scharf nachdenken:

Für Eigenwert und zugehörigen Eigenvektor muss gelten , d.h. und somit dann für alle , daraus folgt , d.h. das sind die einzigen beiden möglichen Eigenwerte hier.

Wie sieht es nun mit der Dimension der Eigenräume von 1 bzw. -1 aus? Tipp: Hier kann man explizit einfache Basen dieser Eigenräume angeben (was bedeutet bzw. im anderen Fall für die einzelnen Matrixelemente?), und wenn man insgesamt (d.h. vereinigt über beide Eigenwerte) linear unabhängige Basis-Eigenvektoren findet, ist auch die Frage der Diagonalisierbarkeit positiv geklärt.

Der Kern sollte unmittelbar angebbar sein angesichts dessen, dass 0 hier kein Eigenwert ist.
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kern und Bild der Transponierten Matrix
Zitat:
Original von Mathe_Frage
Der Kern sind all die Abbildungen, die auf die Null abgebildet werden.

Für die Diagonalisierbarkeit muss ich die Eigenwerte kennen, um eine Basis aus Eigenvektoren bestimmen zu können oder?


Zum ersten: Meinst Du nicht eher "Der Kern sind all die Matrizen, die auf die Nullmatrix abgebildet werden." ?

Zum zweiten: Nicht unbedingt. Wenn nur gefragt wird, ob die Abbildung diagonalisierbar ist, reicht eine Aussage über die Dimension der Eigenräume. Wenn nach der entsprechenden Basis oder Transformationsmatrix gefragt ist natürlich nicht.
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