Beweis

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ilovemathe2 Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis
Hey,
ich verstehe den simplen Beweis einfach nicht.

Ich soll doch Zeigen, dass egal welche reelle Zahl, größer als Null, ich einsetze, die Bedingung -x^2+5x-4 > 0 ist oder?

Laut der Musterlösung kommt ja auch auch raus, dass x > 0 sein muss, aber wenn ich zum Beispiel 10 einsetze geht das doch gar nicht mehr auf?

Übersehe ich was ? Oder versteh ich etwas falsch?

sind die Bilder lesbar oder zu klein?

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Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

ja du verstehst da etwas komplett falsch.

Was du eigentlich zeigen sollst, ist:

Egal welche reelle Zahl du einsetzt. WENN ist, dann muss gelten. Das heißt, aber nicht, dass auch die Umkehrung gilt, also auch für jedes bereits richtig ist.

Die Aufgabe dient wohl dazu, genau auf diesen bei Anfängern sehr beliebten Denkfehler bei Implikationen hinzuweisen und ihn hoffentlich auszubügeln.


Standardbeispiel dazu: Wenn es Regnet, ist die Straße nass (sicher richtig, oder?)
Angenommen, jemand nimmt nun seinen Gartenschlauch heraus und spritzt die Straße nass.
Deine Frage mit ist nun analog zu der Frage, wo denn nun der Regen war, schließlich ist die Straße ja nass.
ilovemathe2 Auf diesen Beitrag antworten »

Ahhhhh!
Super Erklärung. Eigentlich kann ich Implikation und auch das Regenbeispiel ist mir sehr vertraut.

Habe das aber so verstanden, dass es für ALLE x aus R gelten soll.

Aufgrund des Satzes, zeige das für alle x aus R gilt .....

Und ja bin in einem Uni-Vorkurs, da soll uns dieser Denkfehler wohl wirklich ausgebrannt werden.

Also letztlich soll ich zeigen, dass WENN diese Behauptung stimmt, dann nur wenn x > 0 ist.
Aber die Behauptung muss nicht für jedes x aus R stimmen?
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Also letztlich soll ich zeigen, dass WENN diese Behauptung stimmt, dann nur wenn x > 0 ist.


Genau!

Zitat:
Aber die Behauptung muss nicht für jedes x aus R stimmen?


Ich weiß gerade nicht, was du meinst.

muss nicht für jedes stimmen. Sehr wohl allerdings die Behauptung:

ilovemathe2 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Ich weiß gerade nicht, was du meinst.


Ich meine, dass sie eben nicht für jedes x aus R stimmen muss, sprich für 10 stimmt es beispielsweise nicht, also dass die Behauptung nicht für jede Reelle Zahl stimmen muss.
Aber WENN sie stimmt, dann muss x > 0 sein.

Richtig oder?

Zitat:
muss nicht für jedes stimmen. Sehr wohl allerdings die Behauptung:



Mist jetzt bin ich allerdings etwas verwirrt, sorry.

Also wie darf ich den zweiten Teil verstehen?
'Sie muss für jedes x aus R stimmen.

Einfach, dass x eine Reelle Zahl sein muss, welche >0 ist? Also WENN es ein x gibt, welches die Behauptung erfüllt?
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Du musst unterscheiden zwischen den Behauptungen

und


Die erste bedeutet für ein fest gewähltes eben, dass dieser Ausdruck, der da steht, größer als ist. Die zweite bedeutet, dass unter der Voraussetzung, dass der Ausdruck größer als ist, auf jeden Fall gelten muss.

Wie du richtig bemerkt hast, muss die erste Aussage nicht für alle richtig sein, die zweite aber schon. Speziell bedeutet das:

Für jedes reelle , dass ich mir aussuche, muss diese Implikation gelten. Du kannst dir das so vorstellen.

Nimm ein beliebiges reelles .

Fall 1: ist nicht erfüllt. In diesem Fall, ist es egal, ob oder nicht. Die Behauptung ist für dieses erfüllt, weil nur im Fall, dass gilt, überhaupt etwas zu zeigen ist.

Fall 2: ist erfüllt. Nur in diesem Fall ist zu zeigen, dass tatsächlich gilt.

Für jedes ist einer der beiden Fälle richtig. Wenn ich in beiden Fällen zeigen kann, was zu zeigen ist (also in Fall 1 garnichts und in Fall 2, dass ), dann ist die Behauptung für alle richtig.
 
 
ilovemathe2 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Guppi12
Du musst unterscheiden zwischen den Behauptungen

und


Die erste bedeutet für ein fest gewähltes eben, dass dieser Ausdruck, der da steht, größer als ist. Die zweite bedeutet, dass unter der Voraussetzung, dass der Ausdruck größer als ist, auf jeden Fall gelten muss.

Wie du richtig bemerkt hast, muss die erste Aussage nicht für alle richtig sein, die zweite aber schon.


Bis hier ist alles glasklar.

Zitat:
Speziell bedeutet das:

Für jedes reelle , dass ich mir aussuche, muss diese Implikation gelten.
Du kannst dir das so vorstellen.

Nimm ein beliebiges reelles .

Fall 1: ist nicht erfüllt. In diesem Fall, ist es egal, ob oder nicht. Die Behauptung ist für dieses erfüllt, weil nur im Fall, dass gilt, überhaupt etwas zu zeigen ist.

Fall 2: ist erfüllt. Nur in diesem Fall ist zu zeigen, dass tatsächlich gilt.

Für jedes ist einer der beiden Fälle richtig. Wenn ich in beiden Fällen zeigen kann, was zu zeigen ist (also in Fall 1 garnichts und in Fall 2, dass ), dann ist die Behauptung für alle richtig.


Hier verlier ich etwas den Faden. Bis zum Ende bleibt es recht klar, aber dann verlier ich etwas den Faden.

Fall 1 ist immer erfüllt, weil wir dort gar nichts zu zeigen haben, egal was rauskommt oder ?

Fall 2 hänge ich nur am letzten Satz.

Wir gehen also davon aus, dass die Behauptung stimmt und somit wollen wir zeigen, dass in dem Fall x < 0 sein muss.

Für jedes x aus R ist einer der beiden Fälle richtig. Also, wenn Fall 2 falsch ist, ist Fall 1 trotzdem immer richtig, weil wir dort ja nichts zu zeigen haben.
Das impliziert also, dass für jedes x aus R die Behauptung, -x^2+5x-4 > 0 -> x>0, richtig ist, da wenn Fall 2 falsch ist, Fall 1 immer richtig ist?
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Deine Ausführungen sind leider noch etwas wirr.

Also für jedes ist entweder

erfüllt oder nicht.
Wenn es erfüllt ist, müssen wir zeigen, wenn es nicht erfüllt ist, ist gar nichts zu zeigen.

Wir können nicht beliebig zwischen den Fällen hin und her switchen. Für ein festes steht auch fest, ob richtig ist oder nicht. Demnach steht auch fest, ob wir etwas zeigen müssen oder nicht.
ilovemathe2 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Guppi12
Deine Ausführungen sind leider noch etwas wirr.

Also für jedes ist entweder

erfüllt oder nicht.
Wenn es erfüllt ist, müssen wir zeigen, wenn es nicht erfüllt ist, ist gar nichts zu zeigen.

Wir können nicht beliebig zwischen den Fällen hin und her switchen. Für ein festes steht auch fest, ob richtig ist oder nicht. Demnach steht auch fest, ob wir etwas zeigen müssen oder nicht.


Oh mein Gott jetzt wirds peinlich, aber ich glaube ich habs.

Der Pfeil der sagt x >0 bedeutet, dass wir von einer Implikation sprechen? Also wenn die Behauptung stimmt, dann muss x > 0 sein?
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Genau.
ilovemathe2 Auf diesen Beitrag antworten »

Oh Gott. Das hätte einiges erspaart. Hab 8 Stunden Vorkurs hinter mir vll liegts daran Big Laugh

Heißt also abschließend gesagt.

WENN die Behauptung stimmt, dann nur x > 0 ist und es gelten alle reellen Zahlen.

Also man geht davon aus das es stimmt (sekundär obs wirklich stimmt oder nicht?) und zeigt dann, dass es nur mit x > 0 geht.
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Du kannst die Behauptung übrigens auch anders interpretieren:

Für alle gilt .

Das liegt daran, dass äquivalent ist zu .
ilovemathe2 Auf diesen Beitrag antworten »

Wow. Es war echt simpel, hätte ich den Pfeil schon früher verstanden zu interpretieren.

Auf deutsch steht dort einfach,

Für alle x aus R gilt, wenn -x^2+5x-4>0 dann muss x > 0 sein nicht wahr?
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Richtig.
ilovemathe2 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich danke ihnen sehr und sorry für die Strapazen.
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