Ableitung von gebrochenrationaler Funktion

21.03.2018, 20:04

nim

Ableitung von gebrochenrationaler Funktion

Meine Frage:
Hallo,

ich habe nun seit über einer Stunde an der Funktion rumprobiert und bin nicht auf das Ergebnis d.h. die Ableitung gekommen.

Meine Ideen:
Wäre super, wenn mir ein helleres Lichtchen in 2-3 Schritten zeigen kann, wie man da die Ableitung bildet:

$\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{(x+1)\sqrt{x} }{(x-1)^2\sin(x) } \end{eqnarray*}$

Ich habe es schon gleichzeitig mit Quotientenregel, Produktregel und Kettenregel versucht.

Vielen Dank im Voraus für die Hilfe! smile

21.03.2018, 20:29

Mulder

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RE: Ableitung von gebrochenrationaler Funktion
Igitt. Sieht fast nach einer Strafarbeit aus. Da hätte ich auch keinen Spaß dran. Augenzwinkern

Magst du mal posten, was du gerechnet hast? Wenn sich da ein Fehler eingeschlichen hat, dann wird der auch zu finden sein. smile

Nutze die Quotientenregel und separat für die Ableitung von Zähler und Nenner jeweils die Produktregel.

Einfach vorrechnen entspricht nicht der Intention dieses Forums. Augenzwinkern

22.03.2018, 00:03

sibelius84

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Hi,

für den Zähler braucht man denke ich keine Produktregel, den kann man ausmultiplizieren und dann die Potenzen ableiten.

LG
sibelius84

22.03.2018, 06:52

nim

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RE: Ableitung von gebrochenrationaler Funktion
@Mulder ist tatsächlich eine Bonusaufgabe Big Laugh

@sibelius84 habe ich schon versucht. Ist leider nichts geworden...

Hier mein vielversprechendster Ansatz:

$\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{((x-1)^{2}\sin(x) )*(\sqrt{x} +(x+1)*\frac{1}{2}x^{-0,5} )-((x+1)*\sqrt{x} )(2(x-1)\sin(x) +(x-1)^{2}*\cos(x) }{(x-1)^{4}\sin^{2} (x) } \end{eqnarray*}$

sieht mir irgendwie zu kompliziert aus, als dass es eine Lösung ist.

22.03.2018, 08:42

klarsoweit

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RE: Ableitung von gebrochenrationaler Funktion
Ob du es glaubst oder nicht, aber die Ableitung ist richtig, wenn man am Ende noch eine fehlende Klammer ergänzt:

$\begin{eqnarray*} f'(x) = \frac{((x-1)^{2}\sin(x) )*(\sqrt{x} +(x+1)*\frac{1}{2}x^{-0,5} )-((x+1)*\sqrt{x} )(2(x-1)\sin(x) +(x-1)^{2}*\cos(x) ) }{(x-1)^{4}\sin^{2} (x) } \end{eqnarray*}$ smile

Wenn du den Zähler ausmultiplizierst, lassen sich vielleicht noch ein paar Terme zusammenfassen.

22.03.2018, 08:49

Mulder

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RE: Ableitung von gebrochenrationaler Funktion
Nunja, als erstes könnte man natürlich noch einmal $\begin{eqnarray*} (x-1) \end{eqnarray*}$ kürzen.

Eventuell lässt sich der Bruch sonst auseinanderziehen; dann kann man jeweils ein bisschen mehr wegkürzen. Führte bei mir aber auch nicht unbedingt zu einem schönen Ergebnis.

Eine schöne, kompakte Darstellung wirst du wohl nicht bekommen, nim. Augenzwinkern

Edit: Letzteres allerdings mit Hinweis, dass das im Allgemeinen keine sinnvolle Vorgehensweise ist hinsichtlich Nullstellensuche etc. Aber ich gehe ja mal davon aus, dass du mit diesem Konstrukt nicht mehr weiter rechnen musst. Dann kann man sich überlegen, ob man zwei "kleinere" Brüche davon macht oder es eben bei diesem einen "Monsterbruch" belässt.

22.03.2018, 08:58

klarsoweit

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RE: Ableitung von gebrochenrationaler Funktion

Zitat:

Original von Mulder
Nunja, als erstes könnte man natürlich noch einmal $\begin{eqnarray*} (x-1) \end{eqnarray*}$ kürzen.

Danke. Habe ich glatt übersehen, daß das vorher noch dran ist. Freude

22.03.2018, 09:54

HAL 9000

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Ich würde als erstes die Funktion umschreiben:

$\begin{eqnarray*} f(x) = x^{\frac{1}{2}} \cdot (x+1) \cdot (x-1)^{-2} \cdot (\sin(x))^{-1} \end{eqnarray*}$

Und dann für $\begin{eqnarray*} f = f_1\cdot f_2\cdot \ldots f_n \end{eqnarray*}$ die verallgemeinerte Produktregel $\begin{eqnarray*} f' = f\cdot \sum_{k=1}^n \frac{f_k'}{f_k} \end{eqnarray*}$ nutzen, für Potenzfunktionen $\begin{eqnarray*} g(x) = (x-a)^r \end{eqnarray*}$ kann man dabei Nebenrechnung $\begin{eqnarray*} \frac{g'}{g} = \frac{r}{x-a} \end{eqnarray*}$ nutzen:

$\begin{eqnarray*} f'(x) = f(x) \left( \frac{1}{2x} + \frac{1}{x+1} - \frac{2}{x-1} - \frac{\cos(x)}{\sin(x)} \right) \end{eqnarray*}$ .

Ob man jetzt noch weiter vereinfacht, ist letztlich Geschmackssache.

22.03.2018, 13:40

sibelius84

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Zumindest sehe ich keinen Grund, warum man nicht noch den Quotienten $\begin{eqnarray*} \frac{\cos(x)}{\sin(x)} \end{eqnarray*}$ umschreiben sollte zu $\begin{eqnarray*} \cot(x) \end{eqnarray*}$ . Augenzwinkern

22.03.2018, 13:43

HAL 9000

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Es ist vieles an Umformung denkbar, manch einer will vielleicht eher sowas als "Endergebnis" sehen:

$\begin{eqnarray*} f'(x) = -\frac{(x^2+6x+1)\sin(x) + 2x(x^2-1)\cos(x)}{2\sqrt{x}(x-1)^3\sin^2(x)} \end{eqnarray*}$

22.03.2018, 13:54

sibelius84

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Vielleicht. Deine erste Schreibweise bzw. generell die verallgemeinerte Produktregel so wie von dir oben zitiert insinuiert für meinen Geschmack ein wenig zu sehr, dass die Nullstellen von f auch automatisch Nullstellen der Ableitung von f wären, was im Allgemeinen vermutlich falsch ist.

22.03.2018, 14:05

HAL 9000

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Zitat:

Original von sibelius84
insinuiert für meinen Geschmack ein wenig zu sehr, dass die Nullstellen von f auch automatisch Nullstellen der Ableitung von f wären

Wohl kaum. Was eher bedenklich ist, dass eine derartige Darstellung Definitionslücken enthalten könnte, die ggfs. gar keine sind (d.h. stetig hebbar). Im vorliegenden Fall ist das aber glücklicherweise nicht der Fall.

23.03.2018, 08:23

nim

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Danke für eure vielen Hilfestellungen!

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