Gleichung vereinfachen

22.03.2018, 08:12

nim

Gleichung vereinfachen

Meine Frage:
Hallo, ich möchte gerne die Extremstellen folgender Funktion herausfinden:

$\begin{eqnarray*} f(x)=\sqrt{100+x^{2} } + \sqrt{400+(30-x)^{2} } \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Nach Umformung und Ableiten komme ich auf:
$\begin{eqnarray*} f'(x)=-\frac{x}{\sqrt{x^{2}+100 } } + \frac{x-30}{\sqrt{(30-x)^{2} +400}} \end{eqnarray*}$
Nun möchte ich Auflösen und durch die Mitternachtsformel $\begin{eqnarray*} f'(x)=-\frac{x}{\sqrt{x^{2}+100 } } + \frac{x-30}{\sqrt{(30-x)^{2} +400} } \end{eqnarray*}$ Nullstellen der Ableitung ausrechnen.

Kann mir bitte jemand helfen um von der Ableitung die Gleichung auf die Form
$\begin{eqnarray*} 0=ax^{2} +bx+c \end{eqnarray*}$

zu bringen.

Vielen Dank im Voraus! smile

22.03.2018, 08:41

Matt Eagle

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RE: Gleichung vereinfachen
Bei mir wäre zunächst mal

$\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac x{\sqrt{x^2+100 } } - \frac{30-x}{\sqrt{400+(30-x)^2}}. \end{eqnarray*}$

Es gilt also folgende Gleichung zu lösen:

$\begin{eqnarray*} \frac x{\sqrt{x^2+100 } } = \frac{30-x}{\sqrt{400+(30-x)^2}}. \end{eqnarray*}$

Nach quadrieren und zusammenfassen bleibt davon nur noch:

$\begin{eqnarray*} 4x^2=(30-x)^2. \end{eqnarray*}$

Und das sollte nun machbar sein...

22.03.2018, 08:41

Equester

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Die Ableitung ist richtig. Ich sehe da aber keine große andere Möglichkeit als mit den Nenner zu multiplizieren und das Wurzelproblem zu lösen.

22.03.2018, 08:47

IfindU

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Minimalstelle einer Funktion verwirrt

22.03.2018, 09:17

HAL 9000

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Lag ich also im anderen Thread mit Vermutung

Zitat:

Original von HAL 9000
Wenn du nicht gerade das Vorzeichen von $\begin{eqnarray*} f' \end{eqnarray*}$ vergurkt hast

richtig.

23.03.2018, 08:41

nim

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RE: Gleichung vereinfachen
@Matt Eagle: Ja, quadrieren und umformen habe ich auch schon versucht.

$\begin{eqnarray*} \frac{x}{x^{2} +100} =\frac{x^{2} -60x +900}{x^{2} -60x +1300} \end{eqnarray*}$

Beim Umformen fehlt mir die Idee, wie ich es anstelle. Wenn ich mit Nenner/Zähler multipliziere komme ich nicht auf dein Ergebnis:

$\begin{eqnarray*} 0= x^{2} -20x +30 \end{eqnarray*}$

23.03.2018, 09:00

klarsoweit

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RE: Gleichung vereinfachen

Zitat:

Original von nim
$\begin{eqnarray*} \frac{x}{x^{2} +100} =\frac{x^{2} -60x +900}{x^{2} -60x +1300} \end{eqnarray*}$

Korrekt ist: $\begin{eqnarray*} \frac{x^2}{x^{2} +100} =\frac{x^{2} -60x +900}{x^{2} -60x +1300} \end{eqnarray*}$

Und wie Equester schon sagte: multipliziere mit den Nennern.

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