Trennung Variablen und Ähnlichkeits DGL

22.03.2018, 11:30

BYSON21

Trennung Variablen und Ähnlichkeits DGL

Folgende Aufgabe habe ich:
Lösen sie das Anfangswertproblem

$\begin{eqnarray*} y' = e^y \end{eqnarray*}$

y(0) =0

durch Trennung der Veränderlichen und überprüfen sie ihre Lösung anschliessend.

(b) Bestimmen Sie die Losung der folgenden Differentialgleichung fur x > 0 :

$\begin{eqnarray*} y' = (1+ \frac{y}{x} )^2 - \frac{y}{x} \end{eqnarray*}$

Ansatz a)
$\begin{eqnarray*} dy/dx = e^y \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{dy}{e^y} = 1dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -\frac{1}{e^y} = x+C \end{eqnarray*}$

hmm wie kann ich das jetzt vereinfachen ,damit ich es links nach y auflösen kann?

22.03.2018, 11:35

HAL 9000

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$\begin{eqnarray*} \frac{1}{e^y} = e^{-y} \end{eqnarray*}$

Außerdem kannst du auch erstmal $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ bestimmen über den gegebenen Anfangswert $\begin{eqnarray*} y(0)=0 \end{eqnarray*}$ .

22.03.2018, 11:39

BYSON21

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RE: Trennung Variablen und Ähnlichkeits DGL
$\begin{eqnarray*} \frac{dy}{e^y} = 1dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -\frac{1}{e^y} = x+C \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e^{-Y} = x+C \end{eqnarray*}$

x= 0 einsetzen:

$\begin{eqnarray*} e^{-Y} = C \end{eqnarray*}$

War das so bei dir gemeint?

22.03.2018, 11:41

BYSON21

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RE: Trennung Variablen und Ähnlichkeits DGL

Zitat:

Original von BYSON21
$\begin{eqnarray*} \frac{dy}{e^y} = 1dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -\frac{1}{e^y} = x+C \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} - e^{-Y} = x+C \end{eqnarray*}$

x= 0 einsetzen:

$\begin{eqnarray*} -e^{-Y} = C \end{eqnarray*}$

War das so bei dir gemeint?

Korrigiert

22.03.2018, 12:00

klarsoweit

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RE: Trennung Variablen und Ähnlichkeits DGL
Nun ja, da y(0) = 0 sein soll, mußt du natürlich auch die Null für das y einsetzen. smile

22.03.2018, 12:17

BYSON21

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RE: Trennung Variablen und Ähnlichkeits DGL
$\begin{eqnarray*} \frac{dy}{e^y} = 1dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -\frac{1}{e^y} = x+C \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} - e^{-Y} = x+C \end{eqnarray*}$

x= 0 einsetzen:

$\begin{eqnarray*} -e^{-Y} = C \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -1 = C \end{eqnarray*}$

Das war die a)?
Soll ich nicht irgendwie die Gleichung nach y auflösen ?
Wie mache ich das in dem Fall?

22.03.2018, 12:28

klarsoweit

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RE: Trennung Variablen und Ähnlichkeits DGL
Jetzt weißt du, was das C ist. Das einsetzen in $\begin{eqnarray*} -e^{-y} = x + C \end{eqnarray*}$ und dann nach y auflösen. smile

22.03.2018, 12:35

BYSON21

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RE: Trennung Variablen und Ähnlichkeits DGL
$\begin{eqnarray*} -e^{-y} = x + 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -*-y = ln(x + 1) \end{eqnarray*}$

y= ln(x+1)

Fertig
???

22.03.2018, 12:48

HAL 9000

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$\begin{eqnarray*} C=-1 \end{eqnarray*}$ eingesetzt ergibt $\begin{eqnarray*} -e^{-y} = x-1 \end{eqnarray*}$ .

Jetzt versuch nochmal, das nach $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ umzuformen, und diesmal mit mehr Konzentration.

22.03.2018, 13:24

BYSON21

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[quote]Original von HAL 9000
$\begin{eqnarray*} C=-1 \end{eqnarray*}$ eingesetzt ergibt $\begin{eqnarray*} -e^{-y} = x-1 \end{eqnarray*}$ .

Ich habe das ln gezogen :

-y = ln(x-1)

vor der e funktion steht doch auch ein Minus oder nicht ?

Also:
-1*-y = y Hätte ich gedacht

y = ln(x-1)+C

22.03.2018, 13:49

HAL 9000

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Du hast dich also entschlossen, weiter rumzupfuschen beim Umformen... Man kann von $\begin{eqnarray*} -e^{-y} \end{eqnarray*}$ kein "ln ziehen", man muss erst das Vorzeichen wechseln. unglücklich

$\begin{eqnarray*} -e^{-y} &=& x-1\qquad \Bigm| \;\cdot (-1)\\ e^{-y} &=& 1-x\qquad \Bigm| \;\ln()\\ -y &=& \ln(1-x)\qquad \Bigm| \;\cdot (-1)\\ y &=& -\ln(1-x) \end{eqnarray*}$

22.03.2018, 14:45

BYSON21

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An meiner Lösung merke ich das meine Lösung falsch ist aber ich poste meine Rechnug :

Z=y(x)/x
y(x)=z*x

y‘(x)= z

eingesetzt:

dz/dx= (1+z)^2-z

dz/dx = z^2+z+1

Erkennt jemand meinen Fehler ?

22.03.2018, 14:50

HAL 9000

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Zitat:

Original von BYSON21
y(x)=z*x

y‘(x)= z

z hängt auch von x ab, es ist also gemäß Produktregel zu differenzieren:

$\begin{eqnarray*} y &=& z\cdot x\\ y' &=& z'\cdot x + z\cdot x' = z'x+z \end{eqnarray*}$

Und das Einsetzen ergibt dann $\begin{eqnarray*} z'x+z = (1+z)^2-z \end{eqnarray*}$ .

22.03.2018, 15:00

BYSON21

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Bin jetzt doch selbst beim Ergebnis angekommen . Danke

arctan(z) = ln(x)+C

Nur wie bekommt man den arctan auf der linken Seite weg ?

Irgendwie den arcostan ziehen ?

22.03.2018, 15:01

HAL 9000

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Vielleicht einfach mal $\begin{eqnarray*} \tan() \end{eqnarray*}$ anwenden? Augenzwinkern

P.S.: Falls man sich mit $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ auch auf der negativen reellen Achse bewegt, wäre übrigens $\begin{eqnarray*} \arctan(z)=\ln|x|+C \end{eqnarray*}$ die präzisere Darstellung.

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