Satz von Poincaré-Bendixson

22.03.2018, 15:03	Silencium92	Auf diesen Beitrag antworten »
Satz von Poincaré-Bendixson Guten Tag, ich habe eine Frage zum Satz von Poincaré-Bendixson. In der Vorlesung Nicht Lineare Dynamik (Physik Vorlesung) haben wir folgende Form verwendet Sei R eine geschlossene beschränkte Untermenge der Ebene (Phasenraum 2D). Falls - $\begin{eqnarray} \dot{\vec{x}} = f(\vec{x}) \end{eqnarray}$ stetig differenzierbar auf einer offenen Menge, die R einhält - es existieren keine Fixpunkte $\begin{eqnarray} f(\vec{x}_0)=0 \end{eqnarray}$ in R - es existiert eine Trajektorie C, die in R für $\begin{eqnarray} t \to \infty \end{eqnarray}$ bleibt . erfüllt sind, besagt das Theorem: Entweder ist C eine geschlossene Trajektorie oder sie bewegt sich spiralförmig auf eine geschlossene Trajektorie zu. Also, existiert eine geschlossene Trajektorie in R. Laut Indextheorie müssen sich die Indizes der Fixpunkte, die sich innerhalb einer geschlossenen Kurve befinden zu +1 zusammenaddieren. In der geschlossenen Trajektorie des System müssen sich also Fixpunkte des Systems befinden. Da die geschlossene Trajektorie in R erhalten ist, befinden sich Fixpunkte in ihr. Das steht aber im Widerspruch mit der zweiten Bedingung (keine Fixpunkte in R).
22.03.2018, 19:51	sibelius84	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, leider bin ich kein ausgewiesener Experte in Poincaré-Bendixson-Angelegenheiten, möchte aber jedenfalls mal den Unfug widerlegen, dass die Existenz einer Trajektorie zugleich auch die Existenz eines Fixpunktes impliziere: Betrachte $\begin{eqnarray} \dot x = -y ,\dot y = x \end{eqnarray}$ auf der abgeschlossenen und beschränkten (man sagt auch: kompakten) Menge $\begin{eqnarray} R:=\{(s,t)\in\mathbb R^2\,\mid\,1\leq s^2+t^2 \leq 4\} \end{eqnarray}$ . Alle Mengen $\begin{eqnarray} T_\alpha=\{s^2+t^2=\alpha\} \end{eqnarray}$ sind geschlossene Trajektorien, aber es existieren keine Nullstellen von f in R, also keine Equilibria bzw "Fixpunkte". LG sibelius84

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