Lipschitz Bedingung

22.03.2018, 18:57	alex443	Auf diesen Beitrag antworten »
Lipschitz Bedingung Guten Abend hat jemand tipps für diese Aufgabe
22.03.2018, 19:26	sibelius84	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, du musst den Abstand zweier Funktionswerte $\begin{eqnarray} \lVert \Phi(x_1,y_1)-\Phi(x_2,y_2)\rVert \end{eqnarray}$ betrachten und mit dem Abstand $\begin{eqnarray} \lVert (x_1,y_1)-(x_2,y_2)\rVert \end{eqnarray}$ abschätzen. Dann hast du zB in der ersten Komponente stehen: $\begin{eqnarray} \frac{1}{10}\left(-2(x_1^3-x_2^3)+4(y_1^4-y_2^4)\right) \end{eqnarray}$ . Nun beachte die endliche geometrische Summenformel: $\begin{eqnarray} a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b + \ldots + ab^{n-2}+b^{n-1}) \end{eqnarray}$ . Damit kannst du die Differenzen faktorisieren und so die Differenzen x_1-x_2, y_1-y_2 reinbekommen, mit denen du abschätzen musst. Beachte weiter dass ja $\begin{eqnarray} x_j,y_j\in[0,1] \end{eqnarray}$ gilt. Damit kann der Faktor von x_1-x_2 höchstens 3, und der vor y_1-y_2 höchstens 4 werden. Ergibt insgesamt 6 bzw. 16. Da dies aber eine vektorwertige Funktion ist, musst du dasselbe für die zweite Komponente auch noch mal durchführen und dann eine geeignete Norm verwenden. In der zweiten Komponente treten x und y nicht mehr nur isoliert, sondern gemischt auf. Wenn du die Differenz der Funktionswerte betrachtest, musst du ggfs. die Extrema der Ausdrücke vor x_1-x_2 bzw. y_1-y_2 berechnen (Gradient bilden, gleich Null setzen usw.), um zu ermitteln, wie groß bzw. wie klein sie schlimmstenfalls werden können. LG sibelius84 edit: noch mal überarbeitet!
22.03.2018, 19:30	alex443	Auf diesen Beitrag antworten »
Soll ich einfach das obere minus das untere rechnen?
22.03.2018, 19:36	sibelius84	Auf diesen Beitrag antworten »
Wieso denn das obere minus das untere? Begründung? Hatte ein paar Fehler in meinem ersten Post, hab ihn noch mal überarbeitet und das unten drunter kommentiert.

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