Lineare Abhängigkeit überprüfen - Einsetzverfahren

22.03.2018, 23:28

undercover

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Lineare Abhängigkeit überprüfen - Einsetzverfahren

Hi Leute,

ich stehe gerade mal wieder etwas auf dem Schlauch.
Ich würde gerne beim folgenden Gleichungssystem eine lineare Abhängigkeit prüfen. Dabei soll das ganze nach dem Einsetzungsverfahren erfolgen.
Bei zwei Variablen und zwei Gleichungen bekomme ich es ohne Probleme hin, bei drei Variablen und drei Gleichungen bin ich iwi zu bl... Big Laugh

Big Laugh

Bitte keine Lösung, ich will es selbst verstehen, am besten einen Weg smile

smile

$\begin{eqnarray*} <br /> k1 + 2k_2 -1k_3 = 0<br /> 3k_2+2k_3 = 0<br /> k_1 + k_2 + k_3 = 0<br /> \end{eqnarray*}$

Ich würde jetzt die erste Gleichung nach $\begin{eqnarray*} k_1 \end{eqnarray*}$ umstellen was $\begin{eqnarray*} k_1 = -2k_2 +k_3 \end{eqnarray*}$ ergeben würde, sowie Gleichung zwei welche $\begin{eqnarray*} k_2 = 2/3k_3 \end{eqnarray*}$ ergeben würde.
Wie gehe ich dann weiter ?
Oder wie gehe ich grundlegend an die Lösung des Systems.

Gruß

23.03.2018, 00:13

Helferlein

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Nutze deine Ergebnisse, um Gleichung drei auf die Variable $\begin{eqnarray*} k_3 \end{eqnarray*}$ zu reduzieren.

23.03.2018, 16:32

undercover

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Danke für deine Hilfe,
wie würde es weiter gehen bis zur Lösung , komme da irgendwie nicht hinter.

23.03.2018, 16:37

Helferlein

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Woran scheiterst Du? Es ist doch nur noch einfaches, aber eben vollständiges Einsetzen gefragt.
$\begin{eqnarray*} 0=k_1+k_2+k_3=(-2k_2+k_3)+\frac 23k_3+k_3=... \end{eqnarray*}$

23.03.2018, 17:04

undercover

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Vielleicht fehlt mir das Verständnis was ich für ein Ergebnis erwarte, oder was mir das Ergebnis sagt.

Wenn ich die Ergebnisse in die III Gleichung einsetzte erhalte ich $\begin{eqnarray*} k_3 = 6/8K_2 \end{eqnarray*}$
Setzte ich das wiederrum in die III Gleichung erhalte ich $\begin{eqnarray*} k_2 = 0 \end{eqnarray*}$ da ich am ende $\begin{eqnarray*} 5/2 k_2 = 0 \end{eqnarray*}$ erhalte und durch auflösen von $\begin{eqnarray*} k_2 \end{eqnarray*}$ ebend $\begin{eqnarray*} k_2 = 0 \end{eqnarray*}$ erhalte.
Ich weiß das wenn ich 0 erhalte , eben nur die triviale Lösung existiert und die Vektoren eben linear abhängig sind.
Wäre das die Lösung zu den Vektoren die umgeformt das oben genannte LGS ergeben?
Was wäre wenn $\begin{eqnarray*} k_2= 2 \end{eqnarray*}$ wäre ? Dann müsste ich ja weiter umformen ?

23.03.2018, 17:21

Helferlein

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Zitat:

Original von undercover

Wenn ich die Ergebnisse in die III Gleichung einsetzte erhalte ich $\begin{eqnarray*} k_3 = 6/8K_2 \end{eqnarray*}$

Dann hast Du sie aber nicht vollständig eingesetzt. Du hast zwei Gleichungen benutzt, um zwei Variablen zu eliminieren. Übrigbleiben darf also maximal eine Variable und nicht zwei.

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23.03.2018, 17:41

undercover

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Ich bin jetzt maximal verwirrt ^^
Wenn du die Zeit findest, ich weiß es ist sicher müssig, wäre ich dir sehr dankbar wenn du mir die Lösung aufzeigen könntest.
Damit könnte ich mich an den weiteren Aufgaben versuchen.
Ich komme immer aufs selbe Ergebnis.

Vielen Dank für deine Hilfe !

23.03.2018, 18:02

undercover

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Habe es jetzt anders gerechnet, mit dem Einsetzungsverfahren komme ich iwi nicht zurecht.

Meine Lösung:
$\begin{eqnarray*} I. k_1 + 2 k_2 - k_3 = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} II. 3 k_2 + 2 k_3 = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} III. k_1 + k_2 + k_3 = 0 * -1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} III. -k_1 -k_2 - k_3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} I + III \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} k_2 - 2 k_3 = 0 + II \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 4 k_2 = 0 / 4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = k_2 = 0 \end{eqnarray*}$
eingesetzt in die Gleichung aus I +III ergibt
$\begin{eqnarray*} -2 k_3 = 0 / -2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = k_3 = 0 \end{eqnarray*}$

Beide Ergebnisse in die Ausgangs III ergibt
$\begin{eqnarray*} k_1 + 0 + 0 = 0 \end{eqnarray*}$
Also sind die drei Vektoren linear unabhängig da es nur die triviale Lösung von 0 gibt.
Ist es so korrekt gerechnet?
Ist es das beste Verfahren um dieses LGS zu lösen?

23.03.2018, 18:27

undercover

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Gehe ich nach dem Verfahren ... komme ich doch immer auf die triviale Lösung. Habe es bei einer anderen Aufgabe Versucht und es kam wieder immer 0 raus.
unglücklich

unglücklich

23.03.2018, 19:15

Helferlein

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Was Du da machst ist aber nicht das Einsetzungs-, sondern das Additionsverfahren. Im Normalfall ist das die bessere Variante, gerade bei große Systemen.

Deine Lösung stimmt, das System hat nur die triviale Lösung.

23.03.2018, 19:33

undercover

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Das witzige ist, bei dem LGS kommt ebenfalls 0 raus wenn ich nach dem Additionsverfahren vorgehe.
Es ist aber 100% linear abhängig, laut WolframAlpha Big Laugh

Big Laugh

$\begin{eqnarray*} 2 k_1 - 2 k_2 + 3 k_3 = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} k_1 + 4 k_2 - 1 k_3 = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -2 k_1 + 4 k_2 - 4 k_3 = 0 \end{eqnarray*}$

Ich eliminiere doch immer weit beim Additionsverfahren, am Ende steht doch immer eine Variable = 0 , also wird er mich doch immer auf die trivial schicken.

Ich glaube ich sollte es für heute gut sein lasse.... Hammer

Hammer

23.03.2018, 20:02

Helferlein

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Wenn Du am Ende der Eliminierungen Variable=0 erhältst, dann ist das System eindeutig lösbar. Aber wieso sollte das immer so sein?

Versuch das mal mit dem System a+b=0 und -a-b=0 zu erreichen.

23.03.2018, 20:16

mYthos

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Anscheinend hast du ein Verständnisproblem:

Zitat:

Original von undercover
Das witzige ist, bei dem LGS kommt ebenfalls 0 raus wenn ich nach dem Additionsverfahren vorgehe.
Es ist aber 100% linear abhängig, laut WolframAlpha Big Laugh

Big Laugh

...

Das System ist eben NICHT abhängig, auch wenn alle Lösungen 0 sind. Es ist doch damit eindeutig lösbar!

Und nebenbei gesagt, verstehe ich eigentlich nicht, weshalb du da so wild herumrechnest.
Gehe doch so heran:

(1) x + 2y - z = 0
(2) 3y + 2z = 0
(3) x + y + z = 0
----------------------
(1)-(3): y - 2z = 0
(2) 3y + 2z = 0
----------------------
addieren:
4y = 0 --> y = 0, z = 0, x = 0

War dies jetzt für dich verständlich?

-------------------------------------

Alternativ betrachte die Koeffizientendeterminante:

$\begin{eqnarray*} D = \begin{vmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 0 & 3 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} <br /> \end{eqnarray*}$

Welchen Wert hat diese und was kann man daraus schließen?

mY+

23.03.2018, 23:05

undercover

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Vielen Dank für die anschauliche Erklärung von euch beiden.

Vielleicht habe ich einfach zu kompliziert gedacht, oder heute war nicht mein Mathe Tag ^^

Anscheinend habe ich da etwas verwechselt denn es heißt ja ,
wenn alle Skalare 0 sind und es die einzige Möglichkeit ist um die Vektorgleichung zu erfüllen, dann sind die Vektoren doch linear unabhängig oder?
Im Umkehrschluss, wenn es mindestens ein Skalar gibt der ungleich 0 ist, dann sind die Vektoren linear abhängig?

Gruß

23.03.2018, 23:48

Dopap

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Zitat:

Original von undercover
[...]
Im Umkehrschluss, wenn es mindestens ein Skalar gibt der ungleich 0 ist, dann sind die Vektoren linear abhängig?

Gruß

Wenn die Summe der Skalarquadrate größer Null ist,..

ist vielleicht etwas griffiger formuliert.

27.03.2018, 17:06

mYthos

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Diese Definition ist mir bei der linearen Abhängigkeit noch nie begegnet.

Anyway, bei der linearen Abhängigkeit genügt es m. E. zu sagen: Nicht alle Faktoren (Skalare) sind gleich Null.

mY+

28.03.2018, 10:00

Dopap

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richtig, und zur sprachlichen Vereinfachung hat man den Begriff der trivialen Lösung eingeführt was aber inhaltlich nichts Neues bedeutet.

eine Menge von im Betrag von Null verschiedenen Vektoren ist linear unabhängig wenn sich der Nullvektor nur als triviale Linearkombination dieser Vektoren bilden lässt.

Damit kann man kurz aussagen, dass ein homogenes lineares System immer wenigstens die triviale Lösung besitzt, was aber dann nicht mehr jedesmal erwähnt werden muss.

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