Exakte DGL

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BYSON21 Auf diesen Beitrag antworten »
Exakte DGL
Heute mal ne Aufgabe zu einem anderen Thema .

Ansätze siehe Foto.
Wie bestimme ich das Potential genau . Ich weiss dass man da irgendwie integrieren muss ? Big Laugh

ABer nicht so genau was und nach welcher Variable .

Bitte um Erklärung
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Exakte DGL
Zitat:
Original von BYSON21
Wie bestimme ich das Potential genau . Ich weiss dass man da irgendwie integrieren muss ? Big Laugh

Schreib als erstes doch mal auf, was die Definition "exakt" bei einer DGL für die gegebene DGL konkret bedeutet.
BYSON21 Auf diesen Beitrag antworten »

Das bedeutet das die partiellen Gleichungen nach x und y gleich sind .

Aber wie berechne ich das Potential ?
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Integriere den einen Term über x und den anderen Term über y und bastele die beiden Resultate zu einem zusammen.
BYSON21 Auf diesen Beitrag antworten »

Den linken Term über x integrieren oder wie ?
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, die Summanden, die nicht mit y' multipliziert werden, sind über x zu integrieren.. Der Term, der mit y' multipliziert wird, ist über y zu integrieren.
 
 
BYSON21 Auf diesen Beitrag antworten »

Das linke Integral :

1/2*x^2 + x/y(x) + C

Passt das so ?
Wie soll das rechte Integral genau gelöst werden?
Nach y integrieren ist ja nicht so leicht .
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

ja, das passt so, wobei C noch eine Funktion von y sein kann. Den rechten Term über y zu integrieren, bietet doch kein Problem.
BYSON21 Auf diesen Beitrag antworten »



Wie soll ich das integrieren ?

Für mich nicht so trivial
BYSON21 Auf diesen Beitrag antworten »

Oder ist das Ergebnis des linken Integrals einfach :

-x/(2y^2) + c

Wenn es passt ?
Wie geht es weiter?
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Deinen Ausdruck verstehe ich nicht. Zu berechnen ist:

BYSON21 Auf diesen Beitrag antworten »

Ist der Y Teil Integriert :

-1/y^3

Richtig ?
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, das ist nicht richtig. wird wie integriert mit .
BYSON21 Auf diesen Beitrag antworten »

-1/y +c

Jetzt passt es ?
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Richtig, wobei die Konstante diesmal noch von x abhängen kann. Das ist wichtig.
BYSON21 Auf diesen Beitrag antworten »

Wie soll es weiter gehen ?
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Wir haben jetzt die beiden Integrale





Kann man und so wählen, dass gilt? Falls ja, ist die DGL exakt und diese Wahl ergibt das Potential.
BYSON21 Auf diesen Beitrag antworten »

c(y) -1/2x^2




d(x) =0

Passt es so ?
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, genau andersherum!



BYSON21 Auf diesen Beitrag antworten »

Warum anders herum ?

Verstehe ich nicht .
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Schau dir noch mal an, was bei meiner Definition eine Funktion von x und was eine Funktion von y ist. Da ich heute nicht mehr im Board sein werde, noch zum Abschluss: Wir haben jetzt das Potential



Damit ist mit einer Konstanten die allgemeine Lösung der DGL in impliziter Form. In deinem Fall kann man sie nach auflösen und hat dann die Lösung in expliziter Form.
BYSON21 Auf diesen Beitrag antworten »

Wie kommst du genau auf das e?
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Wir haben jetzt ein Potential gefunden mit





Damit gilt für die totale Ableitung von nach :



Also muss konstant sein. Die Konstante habe ich genannt, weil ich die Buchstaben und schon vorher verbraucht hatte.
BYSON21 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok danken.

Damit ist ja die Aufgabe auch erledigt

Ich habe ja sowieso noch eine 2 Aufgabe zu dem Thema gepostet .

Wenn du Zeit hast sehe wir uns dort wieder .

Ansonsten Danke
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