Beweis exp(ln(x))=x mittels Reihenentwicklung

23.03.2018, 11:55

Mab

Beweis exp(ln(x))=x mittels Reihenentwicklung

Meine Frage:
Wie kann man exp(ln(x))=x beweisen, wenn man ln(x) nicht als Umkehrfunktion von exp(x) definiert, sondern sowohl exp(x) als auch ln(x) über ihre Reihenentwicklung um 0 bzw. 1 definiert?

Meine Ideen:
$\begin{eqnarray*} e^{x} = \sum\limits_{k=0}^{n} x^k/k! \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} ln(1+x) = \sum\limits_{k=1}^{n} (-1)^{k+1}x^k/k \end{eqnarray*}$

23.03.2018, 12:49

IfindU

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RE: Beweis exp(ln(x))=x mittels Reihenentwicklung
Die eleganteste Lösung wird sein zu zeigen, dass die Differenzialgleichung $\begin{eqnarray*} y'(x) = \frac 1 x y(x) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} y(1) = 1 \end{eqnarray*}$ um die 1 eine eindeutige Lösung besitzt. Dann kann man leicht nachrechnen, dass $\begin{eqnarray*} f(x) = x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g(x) = \exp(\log(x)) \end{eqnarray*}$ die Differenzialgleichung lösen, also beide gleich sind.

24.03.2018, 13:51

Mabs

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RE: Beweis exp(ln(x))=x mittels Reihenentwicklung
So könnte man aber auch ln(exp(x))=x zeigen, aber es ist ja ln(exp(2pi×i))=0.

24.03.2018, 14:20

IfindU

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RE: Beweis exp(ln(x))=x mittels Reihenentwicklung
Ich habe den Satz von Picard-Lindelöf benutzt um Eindeutigkeit zu folgern. Und der Satz gilt erst einmal nur im Reellen.

25.03.2018, 14:03

Mab-2

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RE: Beweis exp(ln(x))=x mittels Reihenentwicklung
Ich wollte das ganze aber eigentlich für alles beweisen, also auch komplexe Zahlen, Graßmann-Zahlen etc.

25.03.2018, 14:35

Mathologie

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RE: Beweis exp(ln(x))=x mittels Reihenentwicklung

Zitat:

Original von Mab-2
Ich wollte das ganze aber eigentlich für alles beweisen, also auch komplexe Zahlen, Graßmann-Zahlen etc.

Das ganze kann man wenn aber nur für komplexe Zahlen beweisen, da es zum Beispiel bei Graßmann-Zahlen keinen ln(x) gibt, wenn $\begin{eqnarray*} x^2=0 \end{eqnarray*}$ . Für solche Zahlenräume kann man das Ganze also nur für einen bestimmten Bereich, sprich nur eingeschränkt, beweisen. Lehrer

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